Question

如图，已知抛物线的方程C1：y=- 1 / m （x+2）（x-m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E

如图，已知抛物线的方程C1：y=- 1/m（x+2）（x-m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧；问在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．(需解答过程）

Answer 1

如图片解答

Answer 2

lhk;j\';k\k;

Answer 3

解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：
2=-

1
m
（2+2）（2-m），解得m=4．

（2）令y=0，即-
1
4
（x+2）（x-4）=0，解得x1=-2，x2=4，

∴B（-2，0），C（4，0）
在C1中，令x=0，得y=2，∴E（0，2）．
∴S△BCE=

1
2
BC•OE=6．

（3）当m=4时，易得对称轴为x=1，又点B、C关于x=1对称．
如解答图1，连接EC，交x=1于H点，此时BH+CH最小（最小值为线段CE的长度）．
设直线EC：y=kx+b，将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=-
1
2
x+2，当x=1时，y=

3
2
，∴H（1，

3
2
）．

（4）分两种情形讨论：
①当△BEC∽△BCF时，如解答图2所示．
则

BE
BC
=

BC
BF
，∴BC2=BE•BF．

由函数解析式可得：B（-2，0），E（0，2），即OB=OE，∴∠EBC=45°，
∴∠CBF=45°，
作FT⊥x轴于点T，则∠BFT=∠TBF=45°，
∴BT=TF．
∴可令F（x，-x-2）（x＞0），又点F在抛物线上，
∴-x-2=-

1
m
（x+2）（x-m），∵x+2＞0（∵x＞0），

∴x=2m，F（2m，-2m-2）．
此时BF=

(2m+2)2+(-2m-2)2
=2

2
（m+1），BE=2

2
，BC=m+2，

又BC2=BE•BF，∴（m+2）2=2
2
•2

2
（m+1），

∴m=2±2
2
，

∵m＞0，∴m=2
2
+2．

②当△BEC∽△FCB时，如解答图3所示．
则

BC
BF
=

EC
BC
，∴BC2=EC•BF．

∵△BEC∽△FCB
∴∠CBF=∠ECO，
∵∠EOC=∠FTB=90°，
∴△BTF∽△COE，
∴

TF
BT
=

OE
OC
=

2
m
，

∴可令F（x，-
2
m
（x+2））（x＞0）

又点F在抛物线上，∴-
2
m
（x+2）=-

1
m
（x+2）（x-m），

∵x+2＞0（∵x＞0），
∴x=m+2，∴F（m+2，-
2
m
（m+4）），EC=

m2+4
，BC=m+2，又BC2=EC•BF，∴（m+2）2=

m2+4
•

(m+2+2)2+4(m+4)2m2
整理得：0=16，显然不成立．
综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m=2
2 +2．

Answer 4

（2012•黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=- 1/m（x+2）（x-m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
解答：解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：
2=-1/m（2+2）（2-m），解得m=4．
（2）令y=0，即-
1/4（x+2）（x-4）=0，解得x1=-2，x2=4，
∴B（-2，0），C（4，0）
在C1中，令x=0，得y=2，∴E（0，2）．
∴S△BCE=1/2BC•OE=6．
（3）当m=4时，易得对称轴为x=1，又点B、C关于x=1对称．
如解答图1，连接EC，交x=1于H点，此时BH+CH最小（最小值为线段CE的长度）．
设直线EC：y=kx+b，将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=-1/2x+2，
当x=1时，y=3/2，∴H（1，3/2）．
（4）分两种情形讨论：
①当△BEC∽△BCF时，如解答图2所示．
则BE/BC=BC/BF，∴BC2=BE•BF．
由函数解析式可得：B（-2，0），E（0，2），即OB=OE，∴∠EBC=45°，
∴∠CBF=45°，
作FT⊥x轴于点T，则∠BFT=∠TBF=45°，
∴BT=TF．
∴可令F（x，-x-2）（x＞0），又点F在抛物线上，
∴-x-2=-1/m（x+2）（x-m），∵x+2＞0（∵x＞0），
∴x=2m，F（2m，-2m-2）．
此时BF=

(2m+2)2+(-2m-2)2

=2

2

（m+1），BE=2

2

，BC=m+2，
又BC2=BE•BF，∴（m+2）2=2

2

•2

2

（m+1），
∴m=2±2

2

，
∵m＞0，∴m=2

2

+2．
②当△BEC∽△FCB时，如解答图3所示．
则BC/BF= EC/BC，∴BC2=EC•BF．
∵△BEC∽△FCB
∴∠CBF=∠ECO，
∵∠EOC=∠FTB=90°，
∴△BTF∽△COE，
∴TF/BF=OE/OC=2/m，
∴可令F（x，-2/m（x+2））（x＞0）
又点F在抛物线上，∴-
2/m（x+2）=-1/m（x+2）（x-m），
∵x+2＞0（∵x＞0），
∴x=m+2，∴F（m+2，-2/m（m+4）），EC=

m2+4

，BC=m+2，
又BC2=EC•BF，∴（m+2）2=

m2+4

(m+2+2)2+
4(m+4)2
m2

整理得：0=16，显然不成立．
综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m=2

2

+2．