Question

如图,弦AB,CD在圆O上相交于

如图,弦AB,CD在圆O上相交于一点P,弧AB=弧CD（1)求证：OP平分∠APC （2）若AB，CD相交于圆O内一点P（1）的结论是否成立？请说明理由，若相交于圆O外一点P呢？
不要全等，从弧的角度，就是圆的定理上正

Answer 1

证明：∵EC为圆O直径且弧AB=弧CD，所以弧AE=弧CE

∴∠ABE=∠CBE

∴OP平分∠APC

 

证明：因为弧AB=弧CD，所以AB＝CD
过点O作ON⊥AB，OQ⊥CD，垂足分别为N、Q

∵由1得，OP平分∠APC

∴OQ=ON
∴三角形OMP≌ 三角形ONP（HL）
所以∠OPM＝∠OPN
即OP平分∠APC

 

证明：有可能平分，也有可能不平分。当∠APC内包含直径EM的时候，就是平分的

如果APC内不包含直径EM就不平分。如图。左图是最后一题的不包含情况。右图是第二题在圆O内的证明。

Answer 2

1、∵OP在直径上，延长PO交圆与E
∴弧EAP=弧ECP
∵弧AB=弧CD
∴弧EAP-弧AB=弧ECP-弧CD
即弧AE=弧CE
∴∠APE=∠CPE
∴OP平分∠APC
2、成立，理由如下
证明：因为弧AB=弧CD，所以AB＝CD
过点O作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M、N
可得：OM＝ON
可证：三角形OMP≌ 三角形ONP（HL）
所以∠OPM＝∠OPN
即OP平分∠APC
3、做OE⊥AB
OF⊥CD
∵弧AB=弧CD
∴AB=CD
∴OE=OF
∵OP=OP
∴Rt△OEP≌Rt△OFP(HL)
∴∠EPO=∠FPO
∴OP平分∠APC

Answer 3

1.证明：设直径为OP与弧AC交于M
因为MB为直径
所以弧MB=弧MP（MB)
因为弧AB=弧CD
所以弧AM=弧CM
所以∠ABM=∠CBM
所以OP平分∠APC
2.等我想想