Question

已知函数f(x)=(a-1/2)x2+lnx(a∈R)，若在区间（1,+∞）上，

已知函数f(x)=(a-1/2)x2+lnx(a∈R)，若在区间（1,+∞）上，函数f(x)图像恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围。

Answer 1

事实上，很容易知道a<=1/2时才可能使得题设满足，因为若a>1/2，当x趋向于正无穷大时。总有f(x)=(a-1/2)x2+lnx>(a-1/2)x2
而limx→+∞（a-1/2)x2/2ax=+∞
因此题设不满足。
设g(x)=f(x)-2ax=(a-1/2)x2+lnx-2ax,x>1
g(x)的导数dy/dx=[(2a-1)x-1](x-1)/x
若a=1/2。显然易知道dy/dx《0对于所有的x>1都成立。因此就知道函数g(x)在（1，+∞）上单调减少，故有g(x)<g(1)=0对所有的x>1都成立，因此a=1/2符合题设。
若a<1/2.g(x)导数的根为x1=1/(2a-1)<0,x2=1
显然x1<x2
因此也容易知道g(x)在（1，+∞）单调减少，故只需满足g(1)=-a-1/2<=0即可
解得a>=-1/2
综上所述，所求a的取值范围是[-1/2,1/2]

Answer 2

阿嫂