Question

一道初三数学题，能帮忙吗

如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．△ACF相似于GCA。求证：∠AFC＋∠AGC＝45°

Answer 1

分析：（1）设正方形的边长为a，求出AC的长为 √2a，再求出△ACF与△GCA中夹∠ACF的两边的比值相等，根据两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似，即可判定△ACF与△GCA相似；
（2）根据相似三角形的对应角相等可得∠1=∠CAF，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠2 ∠CAF=∠ACB=45°，所以∠1 ∠2=45°．
解答：解：（1）相似．
理由：设正方形的边长为a，
AC= √(a² a²)= √2a，
∵ AC/CF= √2a/a= √2， CG/AC= 2a/√2a= √2，
∴ AC/CF=CG/AC，
∵∠ACF=∠ACF，
∴△ACF∽△GCA；
（2）∵△ACF∽△GCA，
∴∠1=∠CAF，
∵∠CAF ∠2=45°，
∴∠1 ∠2=45°．

Answer 2

因为相似，所以∠1=∠FAC
所以：∠2＋∠AGC=∠2+∠FAC=180-∠ACF
又因为ABCD是正方形，且AC为对角线
所以∠ACB=45度，即180-∠ACF=45°
所以：∠AFC＋∠AGC＝45°

Answer 3

 由题意可知：∠ACF=∠GCA 
 正方形ABCD=>AC=根号2*CD 
 正方形CDEF=>CD=CF 
 所以： AC=根号2*CF 
 又知CF=FG(由题可知) 
 所以CG=2*CF=根号2*AC 
 则： AC/CF=CG/AC=根号2 
 同时：∠ACF=∠GCA 
 所以：三角形ACF相似于三角形GCA 
 则： ∠CAG=∠2 
 又知：∠1+∠CAG=∠ACB=45° 
 所以：∠1+∠2=45° 

Answer 4

证明：
设正方形的边长为a，
AC= √(a²+a²)= √2a，
∵ AC/CF= √2a/a= √2， CG/AC= 2a/√2a= √2，
∴ AC/CF=CG/AC，
∵∠ACF=∠ACF，
∴△ACF∽△GCA；
（2）∵△ACF∽△GCA，
∴∠1=∠CAF，
∵∠CAF+∠2=45°，
∴∠1+∠2=45°．

Answer 5

因为
△ACF相似于GCA
所以
∠FAC=∠AGC(相似三角形的对应角相等)

∠ACB=45°=∠AFC+∠FAC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）
=∠AFC+∠AGC