Question

高二数学在线等

如图,
平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB中点,点N是BD1上一点,
且BN=1/3BD1,求证M、N、C1三点共线
请用数学选修2-1空间向量知识解答谢谢

Answer 1

BN=1/3BD1

可以以向量BA,BC,BB1为基底，
表示空间中的向量
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中
向量BN=1/3向量BD1
=1/3(BA+BC+BB1)
∴向量MN
=向量MB+BN
=-1/2BA+1/3(BA+BC+BB1)
=-1/6BA+1/3BC+1/3BB1
向量MC1=向量MB+BC1
=-1/2BA+BC+BB1
=3(-1/6BA+1/3BC+1/3BB1)
=3向量MN
即向量MC1=3向量MN
∴M、N、C1三点共线

Answer 2

证：以D为原点，DA为x轴正方向，DC为y轴正方向，DD1为z轴正方向建立空间直角坐标系。
设正方体的棱长为2a，则：B(2a,2a,0)，M(2a,a,0)，C1(0,2a,2a)，D1(0,0,2a)
向量BD1=(-2a,-2a,2a)，向量MC1=(-2a,a,2a)，向量MB=(0,a,0)
∵BN=1/3BD1
∴向量BN=(-2a/3,-2a/3,2a/3)
则向量MN=向量MB+向量BN=(-2a/3,a/3,2a/3)
又∵向量MC1=(-2a,a,2a)
易得：向量MC1=3*向量MN
∴M、N、C1三点共线
证毕。

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

Answer 3

∵AB∥C1D1，
∴M、B、C1、D1共面，
设BD1与C1M相交于O，
∵ΔBMO∽ΔD1C1O，BM=1/2AB=1/2C1D1，
∴BO/OD1=BM/C1D1=1/2，
∴BO=1/3BD1，
又BN=1/3BD1，且O、N都在线段BD1上，
∴N、O重合，
即M、N、C三点共线。

Answer 4

证明：因为AB//C1D1
BD1为平行线的交线
所以A B C1 D1在一个平面内
假设MC1与BD1相交与X点，则由于MB=1/2(AB)=1/2(C1D1)
且三角形MBX与D1C1相似，得到BX=1/2(D1X)=1/3（BD1）
所以X与N重合，N为直线MC1上的一点，M N C1三点共线

Answer 5

连接MD1，易得知MC1与BD1共勉，又因为MC1与BD1不平行，则MC1与BD1必相交。
若MC1与BD1相交于N1，则有三角形MBN1与三角形C1D1N1相似，又因为M为AB中点，
有D1C1/BM=D1N1/BN1=2,又因为BN=1/3BD1，即BN=2ND1，所以N1与N共点，
即M、N、C1三点共线。

Answer 6

MC1与BD1是相交的 （BM与D1C1平行的则MC1与BD1在同一面上）假设交与F(自己标上)点 正明F与N重合
三角形FMB与三角形FD1C1相似（有BM与D1C1平行的）得BF=1/3BD1
又由于 BN=1/3BD1所以M、N、C1三点共线