Question

求解一道不定积分的题目！谢谢啦！！！！！！！！

请写出步骤和思路！谢谢！

Answer 1

解：设t=arcsinx，则x=sint，dx=costdt
∴∫[arcsinx/(1-x^2)^(3/2)]dx=∫{tcost/[1-(sinx)^2]^(3/2)}dt
=∫[t/(cost)^2]dt
=∫t(sect)^2dt
=∫td(tant)
=ttant-∫tantdt
=ttant±ln(sect)+c
∴原式=arcsinxtan(arcsinx)±ln[sec(arcsinx)]+c
又∵tan(arcsinx)=sin(arcsinx)/cos(arcsinx)
=x/√[1-sin(arcsinx)^2]
=x/√（1-x^2)
又∵ln[(secarcsinx)]=-ln[cos(arcsinx)]
=-ln[1-sin(arcsinx)^2]^(1/2)
=-[ln(1-x^2)]/2
∴原式=[xarcsinx/√（1-x^2)]±[ln(1-x^2)]/2+c
={xarcsinx±[ln(1-x^2)]√(1-x^2)}/[2√(1-x^2)]+c

Answer 2

标准的三角换元法！ 令 x=sint，代入

＝∫ t / (cos t)^2 dt =∫ t d tant (分部积分)

＝t 乘 tan t + ln(cost) + C

= arcsinx乘x / 根号(1-x^2) + 1/2 乘 ln(1-x^2) +C