Question

微分方程的通解（xy^2+x）dx+（y-x^2y）dy=0。书上答案是（1+y^2）/（1-x^2）=C

Answer 1

（xy^2+x）dx+（y-x^2y）dy=0

x（y^2+1）dx=y（x^2-1）dy

y/（y^2+1）dy=x/（x^2-1）dx
2y/（y^2+1）dy=2x/（x^2-1）dx

两边积分，得
ln（y^2+1）=ln（x^2-1）＋lnc
y²＋1=c【x²-1】
即
（1+y^2）/（1-x^2）=C

追问

怎么知道|x^2-1|是负的？

追答

实话说，我的键盘坏了，打不了绝对值
ln（x^2-1），lnc这两个都要绝对值的

结果可以用c正负调整。

Answer 2

（xy^2+x）dx+（y-x^2y）dy=0
xdx(y^2+1)=-ydy(1-x^2)
xdx/(1-x^2)=-ydy/(y^2+1)
d(x^2)/(1-x^2)=-d(y^2)/(y^2+1)
d(x^2)/(x^2-1)=d(y^2+1)/(y^2+1)
d(x^2-1)/(x^2-1)=d(y^2+1)/(y^2+1)
dln(x^2-1)=dln(y^2+1)
ln(x^2-1)=ln(y^2+1)-lnC
ln(y^2+1)-ln(x^2-1)=lnC
ln[(y^2+1)/(x^2-1)]=lnC
(y^2+1)/(x^2-1)=C