Question

已知双曲线中心在原点,焦点F1F2在坐标轴上,离心率e=根号2,且过点(4,-根号10)

点M（3，m）在双曲线上，求证向量MF1*向量MF2=0，

求三角形F1MF2周长

Answer 1

设焦点在X轴,双曲线方程为:x^2/a^2-y^2/b^2=1,
c/a=√2,(a^2+b^2)=2a^2,a=b,
x^2/a^2-y^2/a^2=1,
双曲线经过点（4，－√10),
代入方程,a=√6,
∴双曲线方程为:x^2/6-y^2/6=1,这是实轴在X轴上，
而若实轴在Y轴，则点（4，-√10）代入没有实数解，故焦点不可能在Y轴。
（1）、M（3,m)在双曲线上，代入方程，
m=±√3，c=ea=√2*√6=2√3,焦点坐标：F1（-2√3,0),F2(2√3,0),
向量F1M={3+2√3,3},向量F2M={3-2√3,3},
向量F1M·向量F2M=(3+2√3)i·(3-2√3)i+3j·(3-2√3)i+(3+2√3)i·3j+3j·3j=-3+3=0,
这里i和j是水平和垂直向量的单位分量，i和j点积为0，
同理m==-√3时结果相同，
∴向量F1M·向量F2M=0，二向量互相垂直。
可以用勾股定理，证明F1M^2+F2M^2=F1F2^2，或求出直线F1M和F2M斜率的互为倒数关系来证明二向量相垂直，而推出二向量点积为0。
（2）、在△MF1F2中，|F1F2|=2c=4√3,高=√3，
∴△MF1F2=|F1F2|*h/2=4√3*√3/2=6.