Question

这道题好难，高手帮帮我！急急！

设f(x,y)=x平方+y平方-2x+4y+4.
（1）若f(x,x)>2ax平方+2ax对于任意的实数x都恒成立，求实数a的最值范围；
(2)是否存在斜率为1的直线L，使L被曲线C:f(x,y)=8截得的弦为AB，且以AB为直径的圆恰好过曲线C的中心？若存在，求出直线L的方程；若不存在，说明理由。

Answer 1

(1) f(x,x)=2x^2+2x+4>2ax^2+2ax
(a-1)x^2+(a-1)x-2<0对于任意实数x都成立
所以a-1<0且△<0
a^2-2a+1+8a-8=a^2+6a-7<0
(a+7)(a-1)<0
所以-7<a<1

(2) f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y+4=8
(x-1)^2+(y+2)^2=9
圆C的圆心为(1,-2)
设弦AB所在直线方程为y=x+b
(x-1)^2+(x+b+2)^2=9
2x^2+(2b+2)x+b^2+4b-4=0
(x1+x2)/2=(-b-1)/2
(y1+y2)/2=(x1-b+x2-b)/2=(-b-1)/2
|AB|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=√2*|x1-x2|=√2*√[(b+1)^2-2b^2-8b+8]=√2*√(-b^2-6b+9)
所以以弦AB为直径的圆的方程为
[x+(b-1)/2]^2+[y+(b-1)/2]^2=(-b^2-6b+9)/2
因为这个圆过(1,-2)
所以(b+1)^2/4+(b-5)^2/4=(-b^2-6b+9)/2
b^2+2b+1+b^2-10b+25=-2b^2-12b+18
4b^2+4b+8=0
b^2+b+2=0
△<0
b没有实数解
所以这个直线L不存在

Answer 2

解：(1)，f(x，x)=2x²+2x+4>2ax²+2ax对任意实数x都成立，即不等式：

2(a-1)x²+2(a-1)x-4=2[(a-1)x²+(a-1)x-2]<0对任何x都成立，故必有：

a-1<0，即a<1，及△=(a-1)²+8(a-1)=(a-1)(a+7)<0，故得-7<a<1.

(2)曲线C的方程：由x²+y²-2x+4y+4=8，得(x-1)²+(y+2)²=9，故曲线C是一个园心C在(1，-2)半径

为3的园。设直线L的方程为y=x+b，k=1；

代入园的方程得x²+(x+b)²-2x+4(x+b)-4=2x²+2(b+1)x+b²+4b-4=0

设A(x₁，y₁)；B(x₂，y₂)，则x₁+x₂=-(b+1)；x₁x₂=(b²+4b-4)/2；

故∣AB∣=√{(1+k²)[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]}=√{2[(b+1)²-2(b²+4b-4)]}=√[2(-b²-6b+9)]；

若以AB为直径的园过点C(1，-2)，连接AC，BC，则△ABC为等腰直角三角形，直角边AC=BC=3，故有等式AB²={√[2(-b²-6b+9)]}²=3²+3²=18，即有2(-b²-6b+9)=18，于是得

 b(b+6)=0，故b=0，或b=-6；故直线L存在，且其方程为y=x.或y=x-6；【图上忘记画y=x-6了】

其图象如下(图我画了，但能不能显示，要看运气)【图中C点的坐标标错了，应改为(1，-2)】

Answer 3

f(x,x)=2x^2+2x+4,不等式为2x^2+2x+4>2ax^2+2ax
即(1-a)x^2+(1-a)x+2>0,因为恒成立，所以有
a=1时，恒成立
a≠1时
(1-a)^2-4*2*(1-a)<0,即(a+7)(a-1)<0
故-7<a≤1
(2)曲线C为圆(x-1)^2+(y+2)^2=9
假设存在
因为AB为C的弦，以AB为直径的圆恰好过曲线C的中心,则AB的中点M与C圆心O(1,-2)连线垂直于AB，且OM=MA=MB
已知OA=3,所以OM=3/2*根号3，且OM所在直线方程为y=-x-1,
可得M坐标为(5/2,-7/2)或(-1/2,-1/2）
故L为y=x-6或y=x
当L为y=x-6时，与C联立，x^2-5x+4=0，故AB两点为(1,-5),(4,-2),中点为M,|AB|=3根号2=2*OM
所以L为y=x-6时，假设成立
当L为y=x时，与C联立，得2x^2-2x+4=0,方程无解，所以假设不成立
综上可得L为y=x-6