Question

已知抛物线的顶点在坐标原点，它的准线方程为y=1/4，抛物线上的点A的横坐标为1

已知抛物线的顶点在坐标原点，它的准线方程为y=1/4，抛物线上的点A的横坐标为1，B、C是抛物线上异于点A的两点，且直线AB与直线AC的斜率互为相反数.求线段BC的中点P的轨迹方程.

Answer 1

抛物线解析式为y=-x^2 点A(1,-1) 设B(x1,y1) C(x2,y2) AB方程为y=kx+b
联立抛物线与直线方程得
x1+x2=-2kb/(k^2+1)
x1x2=b^2/(k^2+1)
又AB AC斜率相加为0 所以(y1+1)/(x1-1)+(y2+1)/(x2-1)=0
化简得2kx1x2+(b+1-k)(x1+x2)-2b-2=0
代入消元 得
b=-(k^2+1)/(k+1)
P(x1+x2/2,y1+y2/2)=(k/(k+1),-1/(k+1))
所以P的轨迹方程式为x^2+(y-1/2)^2=1/4
(计算方式为令x=k/(k+1) y=-1/(k+1) 两式相除得到k的表达式 再代入即可

Answer 2