Question

已知函数f(x)=sin²x+√3sinxcosx+2cos²x,x属于R

已知函数f(x)=sin²x+√3sinxcosx+2cos²x,x属于R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调区间.(2)函数f(x)的图像可以由函数y=sin2x(x属于R)的图像经过怎样的变换得到.

Answer 1

(1) f(x)=(1-cos2x)/2+√3/2*sin2x+1+cos2x
=√3/2*sin2x+1/2*cos2x+3/2
=sin(2x+π/6)+3/2
所以f(x)的最小正周期为π
在(kπ-π/3,kπ+π/6)上单调递增，在(kπ+π/6,kπ+2π/3)上单调递减
(2) f(x)可以由函数y=sin2x的图像
向左平移π/12，向上平移3/2得到

追问

第一步是怎么算来的啊？

追答

sin^2x=1/2*2sin^2x=(1-cos2x)/2
cos^2x=1/2*2cos^2x=(1+cos2x)/2
sinxcosx=1/2*2sinxcosx=1/2*sin2x

追问

1/2*2sin²x怎么变成(1-cos2x)/2的？

追答

1/2*2sin^2x
=1/2*[(sin^2x+cos^2x)-(cos^2x-sin^2x)]
=1/2*(1-cos2x)

追问

谢谢，二倍角公式，我刚刚没想起