Question

用第二类换元法求∫1/x(2x+1)½的详解

是求∫1/【x(2x+1)½】

Answer 1

第二换元法。
令2x = tan²θ
2 dx = 2tanθsec²θ dθ
tanθ = √(2x)、sinθ = √(2x)/√(2x + 1)、cosθ = 1/√(2x + 1)
∫ 1/[x√(2x + 1)] dx
= ∫ 1/[(tan²θ)/2 * secθ] * [tanθsec²θ dθ]
= 2∫ cscθ dθ
= 2ln|cscθ - cotθ| + C
= 2ln|√(2x + 1)/√(2x) - 1/√(2x)| + C
= 2ln|[√(2x + 1) - 1]/√(2x)| + C

这题本来优先选用第一换元法的。
令u = √(2x + 1)
u² = 2x + 1
2u du = 2 dx
dx = u du
∫ 1/[x√(2x + 1)] dx
= ∫ 1/[(u² - 1)/2 * u] * [u du]
= 2∫ 1/(u² - 1) du
= ∫ [(u + 1) - (u - 1)]/[(u + 1)(u - 1)] du
= ∫ [1/(u - 1) - 1/(u + 1)] du
= ln|(u - 1)/(u + 1)| + C
= ln|[√(2x + 1) - 1]/[√(2x + 1) + 1]| + C

Answer 2

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