Question

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某企业某年生产某种产品，通过合理定价及促销活动，确保产销平衡，年产量、年销售均为x万件。已知每生产1万件产品需投入32万的生活费用，另外该年生产设备折旧、维修4万元。每件产品定价为平均每件生产成本的150％进行销售，年销售x万件与年促消费用t万之间满足关系：6-x=k／t+1 k为常数，当年促销费用t＝0万元时年销售是x＝2万件。
第一问：利润y表示为促销费t的函数
第二问：该企业年促销费投入多少万时，利润最大？相应年销量及最大年利润为多少？

Answer 1

解：
第一问：
由题意，当t=0时，x=2
故有：
6-2=k/(0+1)
k=4
则有：
x=6-4/(t+1)
生产x万件产品的生活费用为32x万元，加上折旧费、维修费4万元，故生产x万件的总生产成本为32x+4万元，平均每件生产成本为(32x+4)/x万元，每件产品定价为150%·(32x+4)/x=3(32x+4)/2x万元，故年销售总收入为[3(32x+4)/2x]·x=48x+6万元

所以，年利润
y=48x+6-32x-4-t
=16x+4-t
=16[6-4/(t+1)]+4-t
=100-[64/(t+1)]-t

第二问
y=100-[64/(t+1)]-t
=101-[64/(t+1)]-(t+1)
≤101-2√[64/(t+1)]·(t+1)]
=85

当且仅当64/(t+1)=(t+1)，即t=7时，y有最大值85，所以，当促销费用为7万元时，得到最大年利润为85万元，此时，年销量为x=6-4/(7+1)=5.5（万件）

Answer 2

(1) 售价：(32+4/x)*150%=48+6/x
6-x=k／(t+1)

t=0时，x=2： 6-2=k/(0+1) k=4
6-x=4／(t+1) x=6-4/(t+1)

y=((48+6/x)-(32+4/x)-t/x)x
=16x+2-t
=16*(6-4/(t+1))-t+2
=96-64/(t+1)-t+2
=98-(64+t²+t)/(t+1)
=(98t+98-64-t²-t)/(t+1)
=(-t²+97t+34)/(t+1)
即：y=(-t²+97t+34)/(t+1)
(2) y=(-t²+97t+34)/(t+1)
=(-(t-48.5)²+2386.25)/(t+1)
t=48.5时，ymax=2386.25/(48.5+1)=48.2
x=6-4/(48.5+1)=5.9
该企业年促销费投入48.5万时，利润最大，相应年销量为5.9万件，最大年利润为48.2万元。

Answer 3

6-x=k／t+1 ，t=0时，x=2，所以k=4; x=6-4/(t+1)
生产成本=32x+4+t
售价=1.5*32x=48x
y=售价-成本=48x-32x-4-t=16x-4-t=92-64/(t+1) -t