Question

圆锥曲线综合问题

已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与双曲线C2:x^2-y^2/4=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则（）A.a^2=13/2 B.a^2=13 C.b^2=1/2 D.b^2=2

Answer 1

解：C2的焦点为（±√5,0），一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易AB为圆的直径且AB=2a
∴C1的半焦距c=√5，于是得a^2-b^2=5 ①
设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C1的方程得：
x^2=(a^2b^2)/(b^2+4a^2) ②，
由对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=2x√5，
由题得：2x√5=2a/3，所以x=a/(3√5) ③
由②③得a^2=11b^2 ④
由①④得a^2=5.5 ,b^2=0.5

选择C。