Question

如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一交点为A

如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P．
①求该抛物线的解析式和A点的坐标；
②连接AC，BP，求证：△BCP∽△OCA；
③在x轴上找一点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点Q的坐标．

Answer 1

如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交于点B、点C，
x=0 y=3 所以C(0,3)
y=0 x=3 所以B(3,0)
经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c
c=3
9+3b+c=0 b=-4
(1) 该抛物线的解析式为 y=x^2-4x+3
令y=0 x^2-4x+3=0 x=1或x=3
所以A(1,0)
(2) y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1
P(2,-1)
连接AC，BP，
BC=3根号2 PB=根号2 PC=根号20
PC^2=PB^2+BC^2 所以∠CBP=90°
CO=3 OA=1 ∠CBA=90°
BC/CO=PB/OA ∠CBP=∠CBA
△BCP∽△OCA
(3) 因为∠ABC=∠PCQ
所以
第1种情况：PB与CB为对应边时
相似比为3
所以BQ=1/3BA
所以BQ=2/3所以Q(7/3,0)
第2种情况：PB与AB为对应边时
相似比为根号2
所以BQ=BC/根号2=3
所以Q(0,0)

追问

那么在直线x=2上是否存在点Q使P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似 请写出坐标

追答

这么多，还来其他的题呢！你可真行，

追问

额 这是网上黏贴的 和我们月考题不一样少了我补的那道 你回答 我加分

追答

这个分，俺要不起……

Answer 2

解：①把x=0，y=3，x=3，y=0代入y=x ²+bx+c中，解得：b=-4，c=3
∴该抛物线的解析式为y=x ²-4x+3
令x ²-4x+3=0，解得：x1=1，x2=3 ∴A点的坐标为（1,0）
②把抛物线的解析式转化为顶点式：y=x ²-4x+3=（x-2）²-1∴P点的坐标为（2，-1）
∴BC=√3²+3²=3√2 PC=√2²+4²=2√5 PB=√1²+1²=√2
∵PB²+BC²=（3√2）²+（√2）²=（2√5）=PC²
∴PB⊥BC,∠PBC=90 ° ∴OA/PB=OC/BC∴△BCP∽△OCA(SAS)
③令△BPQ∽△ABC∴AB/BP=AC/BQ=BC/PQ∵AB=2 AC=√1O PB=√2 BC=3√2
∴BQ=√5 PQ=3∴点Q的坐标(3+√5 ,0)望采纳！

Answer 3

问①解：
1、设y=0，并代入直线y=-x+3，得：x=3，即得到B点的坐标为（3,0）。
2、设x=0，并代入直线y=-x+3，得：y=3，即得到C点的坐标为（0,3）。
3、将C点坐标分别代入抛物线y=x^2+bx+c，则得到方程式为：3=0^2+b*0+c，得：C=3 （方程式1）。
4、将B点坐标和方程式1代入抛物线y=x^2+bx+c，则得到方程式为：0=3^2+b*3+3，得：b=-4 (方程式2）
5、将方程式1和2代入抛物线y=x^2+bx+c得到该抛物线的解析式为：y=x^2-4x+3。
问②解：
1、A点为抛物线与X轴相交，=》 x^2-4x+3=0，=》(x-3)(x-1)=0，=》x=3或x=1，故A坐标为(1,0)。
2、P点为抛物线的顶点，则P点的横坐标应在A点与B点的中间，故P的横坐标x=(1+3)/2=2，
进而=》P点的纵坐标为：y=2^2-4^2+3=-1，所以P点的坐标为：（2，-1）。
3、在△BCP中和△OCA：
3.1、直线BP的距离为：BP=((3-2)^2+(0-(-1))^2)^(1/2)=2^(1/2)；
3.2、直线BC的距离为：BC=((3-0)^2+(0-3)^2)^(1/2)=3*2^(1/2)；

3.3、直线PC的距离为：PC=((2-0)^2+(-1-3)^2)^(1/2)=20^(1/2)=10^(1/2)*2^(1/2)
4、在△OCA中各边的距离如下：
4.1、直线OA的距离为：OA=1；
4.2、直线OC的距离为：OC=3；
4.3、直线AC的距离为：AC=((1-0)^2+(0-3)^2)^(1/2)=10^(1/2)；
5、将△BCP与△OCA相对应的边长分别对比，
=》BP/OA=2^(1/2)/1；BC/OC=3*2^(1/2)/3=2^(1/2)/1；PC/AC=10^(1/2)*2^(1/2)/(10^(1/2))=2^(1/2)/1；

=》BP/OA=BC/OC=PC/AC=2^(1/2)/1，即△BCP与△OCA相对应的三条边的边长比值均相等，所以△BCP与△OCA为相似三角形。
问③解：

追问

在直线x=2上是否存在点Q使P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似 请写出坐标

追答

追问的回复：
在直线x=2上是一定存在Q点，使得P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似，且这个Q点还不止一个，应该有2个这点的，即以△PBQ中的BP边分别于△ABC中的AB、BC、AC边对应求出比值（这些边长均可计算得出的），再以PQ或BQ与△ABC中的相对应的边进行对比就可得出PQ或BQ的长度了，进而反计算出Q点的y值了，进而Q的坐标为（2，y），y值会有2个以上，故Q点的坐标也会有2个以上。

问③解：
问3的解法就是按上述解追问的方法解的，只不过将追问里的x=2换成X=0就可以了。Q点也是有2个点的。

不懂再问吧

在直线x=2上设Q点，使得P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似，并设Q点坐标为（2，y），PQ的长度L；
在△PBQ与△ABC中，设PQ:BP:BQ=AC:AB:BC，（Q点坐标的答案一）：

因为PQ=L、BP=2^(1/2)；BC=3*2^(1/2)、AC=10^(1/2)、AB=3-1=2；
故：PQ/AC=BP/AB，=>L=BP*AC/AB=2^(1/2)*10^(1/2)/2=5^(1/2)
将P、B点的坐标代入计算BP的长度计算公式，得：(2-3)^2+(y-0)^2=(5^(1/2))^2，=》y=2或y=-2，故Q点的坐标为（2，2）或（2，-2）。

同理可以在△PBQ与△ABC中，设PQ:BP:BQ=AC:BC:AB，可以得到Q点坐标的答案二，（略）

同理可以得到Q点坐标的答案三。