Question

求下列不定积分

1.∫xe^-x*dx 2.∫x²e^-x*dx 3.∫In(x²+1)dx 4. ∫In²x*dx 5.∫xsin2x*dx 6.∫e^xcosx*dx 7. ∫Inx/√ x*dx 8.∫xcosx*dx 9. ∫xarctanx*dx 10. ∫e^√ x*dx 11.∫In(x+√ 1+x²)dx 12.∫arcsin√ x/√ x*dx

Answer 1

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Answer 2

求下列不定积分

1。∫[xe^(-x)]dx=-∫xde^(-x)=-[xe^(-x)-∫e^(-x)dx]=-[xe^(-x)+∫e^(-x)d(-x)]=-(x+1)e^(-x)+C
2。∫x²e^(-x)dx=-∫x²de^(-x)=-[x²e^(-x)+2∫xe^(-x)dx]=-x²e^(-x)-2(x+1)e^(-x)+C=-(x²+2x+2)e^(-x)+C
3。∫ln(x²+1)dx=xln(x²+1)-2∫[x²/(x²+1)]dx=xln(x²+1)-2∫[1-1/(1+x²)]dx=xln(x²+1)-2(x-arctanx)+C
=xln(x²+1)+2arctanx-2x+C
4。∫ln²xdx=x(lnx)²-2∫inxdx=x(lnx)²-2(xlnx-∫dx)=x(lnx)²-2(xlnx-x)+C=X[(lnx)²-2lnx+2]+C
5。∫xsin2xdx=(-1/2)∫xd(cos2x)=-(1/2)[xcos2x-(1/2)∫cos2xd(2x)]=-(1/2)xcos2x+(1/4)sin2x+C
6。∫(e^x)cosxdx=∫cosxd(e^x)=(e^x)cosx+∫(e^x)sinxdx=(e^x)cosx+∫sinxd(e^x)
=(e^x)(cosx+sinx)-∫(e^x)cosxdx，移项得2∫(e^x)cosxdx=(e^x)(cosx+sinx)+C/2，
故∫(e^x)cosxdx=(1/2)(e^x)(cosx+sinx)+C
7。∫[(lnx)/√x]dx【令√x=u，则x=u²，dx=2udu，代入原式得】=2∫[(ulnu²)/u]du=4∫lnudu
=4[ulnu-∫du]=4(ulnu-u)+C=4[(ln√x)-1]√x+C
8。∫xcosxdx=∫xd(sinx)=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C
9。∫xarctanxdx=(1/2)∫arctanxd(x²)=(1/2){x²arctanx-∫[x²/(1+x²)]dx}=(1/2){x²arctanx-∫[1-1/(1+x²)]dx}
=(1/2){x²arctanx-x+arctanx}+C=(1/2)(x²+1)arctanx-(1/2)x+C
10。∫[e^(√x)]dx【令√x=u，则x=u²，dx=2udu，代入原式得】=2∫(ue^u)du=2∫ud(e^u)
=2[ue^u-∫(e^u)du]=2(ue^u-e^u)+C=2[(√x)-1]e^(√x)+C
11。∫ln[x+√(1+x²)]dx=xln[x+√(1+x²)]-∫{[(x²+x√(1+x²)]/[x²+x√(1+x²)+1]}dx
=xln[x+√(1+x²)]-∫{[1-1/[x²+x√(1+x²)+1]}dx=xln[x+√(1+x²)]-x+∫dx/[x²+x√(1+x²)+1]
【后面一个积分：令x=tanu，则dx=sec²udu，1+x²=sec²u，代入化简得∫dx/[x²+x√(1+x²)+1]
=∫secudu/(secu+tanu)=∫du/(1+sinu)=∫du/(1+2sin(u/2)cos(u/2)]=∫du/[cos(u/2)+sin(u/2)]²
=∫sec²(u/2)du/[1+tan(u/2)]²=2∫d[1+tan(u/2)]/[1+tan(u/2)]²=-2/[1+tan(u/2)]
=-2/{1+tan[(1/2)arctanx]}，代回原式得】＝x{ln[x+√(1+x²)]-1}+2/{1+tan[(1/2)arctanx]}+C
12。∫[(arcsin√x)/√x]dx=2∫(arcsin√x)d(√x)=2[(√x)arcsin√x+√(1-x)]+C