Question

RT△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作圆O交AC边于点D，过点D的切线交BC边于点E。1求证点E是BC边的中点

2连接OC交DE于点F，若CF=OF,求cosA的值

Answer 1

1、连接BD、OD
因为圆是以AB为直径做出来的，所以BC为圆的切线，
因为DE为圆的切线，所以BE=DE
所以角CBD=角BDE
因为A、B、D三点均在圆上，所以三角形ABD为直角三角形且BD垂直于AC
因为角BDA=角ABC=90°，并且三角形ABD和三角形ABC公用角A
所以三角形ABD和三角形ABC相似，所以角ABD=角C
因为DE为圆的切线，所以OD垂直于DE
因为角ODE=角BDC=90°，所以角ODB=角EDC
因为OB=OD（同为圆的半径），所以角ODB=角ABD
所以角C=角EDC，所以ED=EC
所以EC=EB=1/2BC，所以E为BC中点

2、因为CF=OF，所以F为OC中点，因为E为BC中点，所以EF平行于AB
所以角DEC=90°，因为角EDC=角ECD，所以角EDC=角ECD=45°
因为角角EDC=角ABD=45°，且角BDA为90°
所以角A=角ABD=45°，所以cosA=√2/2

Answer 2

（1）证明：连接OD、BD，
∵∠ABC=90°，BA为⊙O的直径，
∴BE是⊙O的切线，∠BDA=90°，
又∵DE切⊙O于点D，
∴EB=ED，
∴∠CBD=∠EDB，
∵∠BDA=90°，
∴∠CDB=90°，
∴∠EDB+∠CDE=90°，∠ACB+∠CBD=90°，
∴∠CDE=∠ACB，
∴EC=ED．
∴EB=EC，
即点E是BC边的中点；
（2）解：∵CF=OF，EC=EB，
∴EF∥BO，
∴∠DOB+∠EDO=180°，
∵∠EDO=90°，
∴∠DOB=90°，
∴∠DOA=90°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA=45°，
∴cosA=√2/2