Question

概率论与数理统计 参数估计

Answer 1

似然函数 L(N|x1,x2,..xn)=P(X1=x1)...P(Xn=xn)
令X(1),X(2),... X(n) 是X1，X2，..Xn 的顺序统计量，则当N>=X(n)时 L=(1/N)^n 当N<x(n)时
P(X(n)=x(n))=0 所以L=0 所以为使L最大 则N=X(n) 即N得最大似然估计就是N^ =X(n)
下面求X(n) 的分布 P(X(n)=k)=P(只有一个最大达到k)+P(只有两个最大达到k)+..+P(都是k)
=C(n,1)P(Xn=k,其余《k-1) + C(n,2)P(Xn=Xn-1 =k,其余《k-1)+..+(1/N)^n
=Σ(对m从1到n求和)C(n,m)(1/N)^m((k-1)/N)^(n-m)=(k/N)^n - ((k-1)/N)^n
所以X(n)的分布为 P(X(n)=k)=(k/N)^n - ((k-1)/N)^n k=1,2,...N

追问

求和后最后一步怎么得出的，望再详细说明一下。另外，本题可以通过独立（有放回地）来简化计算吗？

追答

求和最后一步是二项式公式(a+b)^n=Σ(k从0到n)C(n,k)a^kb^(n-k)
不太理解您说的：通过独立（有放回地）来简化计算，什么意思？