Question

线性代数选择题：设A,B为n阶矩阵，A且B与相似，则( )。 (A)lAl=lBl (B)A与B有相同的特征值和特征向量

C、 入I - A= 入I-B（I为单位矩阵） D、A、B均有n个线性无关的特征向量.求正确答案，最好有解释

Answer 1

A,B相似即存在可逆矩阵P, 使P^(-1)AP=B.
所以|B|=|P^(-1)AP|=|P|^(-1)*|A|*|P|=|A|, 所以(A)正确.
多说一点的话, 可以类似证明相似矩阵的特征多项式相等|入I - A|=|入I - B|.
所以相似矩阵有相同的特征值.
但是特征向量一般不同. 例如BX=入X, 也就是P^(-1)APX=入X, 左乘P得到APX=入PX.
所以B的特征向量X其实对应到A的特征向量PX, 而X自身一般不再是A的特征向量.
反例就不举了, 总之(B)的后半是不对的.
(C)直接移项就是A=B, 完全没道理. 取个行列式还差不多.
(D)是说A,B都能对角化, 这个未必成立, 因为我们知道不能对角化的矩阵是存在的, 但这些矩阵照样可以与别的矩阵相似. 不过以下命题是成立的: 如果A,B相似且A可对角化, 那么B也可对角化.

Answer 2

A 对。
A =PBP^(-1), 其中P可逆。
|A|=|P|*|B|*|P^(-1)|= |P|*|B|* 1/|P|=|B|
B. 特征向量不一定不同。
C。 这意味着A=B
D。 如： A=B= [1,1; 0,1], 只有一个线性无关的特征向量。