Question

△ABC中，AB＝AC，E为AB上的点，F为AC延长线上的点，且BE＝CF，EF交BC于点D，求证 DE＝DF

用平行线构造三角形全等

Answer 1

证明：过点E作EG∥AC交BC于G
∵AB＝AC
∴∠B＝∠ACB
∵EG∥AC
∴∠EGB＝∠ACB，∠EGD＝∠FCD，∠GED＝∠F
∴∠B＝∠EGB
∴BE＝GE
∵BE＝CF
∴GE＝CF
∴△EGD≌△FCD （ASA）
∴DE＝DF

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Answer 2

过点E作EG∥AC交BC于G
∵AB＝AC
∴∠B＝∠ACB
∵EG∥AC
∴∠EGB＝∠ACB，∠EGD＝∠FCD，∠GED＝∠F
∴∠B＝∠EGB
∴BE＝GE
∵BE＝CF
∴GE＝CF
∴△EGD≌△FCD （ASA）
∴DE＝DF

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Answer 3

证明：作FH∥AB交BC延长线于H，
∵FH∥AB，
∴∠FHC=∠B．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
又∠ACB=∠FCH，
∴∠FHE=∠FCH．
∴CF=HF．
又∵BD=CF，
∴HF=BD．
又∵FH∥AB，
∴∠BDE=∠HFE，∠DBE=∠FHE．
∴△DBE≌△FHE（ASA）．
∴DE=EF．