Question

抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3）

（1）求y=ax²+bx+c解析式
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使点P到B，C两点的距离之差最大？

Answer 1

1]抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=1,交x轴于A，B(3,0)两点，交y轴于点C(0,-3),∴A(-1,0)
可设y=ax²+bx+c解析式为：y=a(x+1)(x-3),过C(0,-3),∴a=1
故y=ax²+bx+c解析式为：y=(x+1)(x-3)＝x²-2x-3
2]设在抛物线的对称轴上存在一点P（1，y0），使点P到B，C两点的距离之差最大,则
作C(0,-3)关于对称轴的点D(1,-3)
连接BD并延长交对称轴的点即所求P(1,y0)
可证，P到B，C两点的距离之差最大证：在对称轴上另取一点P1，因为PB-PC=PB-PD=BD
又三角形P1BD中，恒有P1B-P1D=P1B-P1C<BD
所以P为所求点
∑小学生数学团▲帮你建模，同你进步；若不明白，可以追问，如有帮助，记得采纳！谢谢。

Answer 2

1、因为其对称轴为x=1，所以可知其顶点在x=1上
对其求导得到：y=2ax+b，它再其顶点（即为极值点）上肯定为0
所以2a+b=0，再将B、C代入函数得到：9a+3b+c=0 c=-3
联合解得：a=1 b=-2 c=-3
所以解析式为：y=x²-2x-3
2、BC的中垂线表达谁：y=-x，在此线上的点到B、C的距离相等
而P所运动的直线x=1会向上下两侧无穷延伸并且越来越远离y=-x，
所以不存在一点P，使得它到B、C两点的距离之差达到最大，只会越来越大