Question

若a,b,c为三角形的三边长,试证明(a²+b²-c²)²-4a²b²一定为负值

Answer 1

证明：(a²+b²-c²)²-4a²b²

=(a²+b²-c²)²－(2ab)²
=(a²+b²-c²＋2ab)(a²+b²-c²－2ab)
=【(a＋b)²－c²】【(a－b)²－c²】

根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

所以
a＋b＞c
(a＋b)²＞c²
(a＋b)²－c²＞0

a－b＜c

(a－b)²＜c²

(a－b)²－c²＜0

再根据两个数相乘，一个负一个正，积为负
所以【(a＋b)²－c²】【(a－b)²－c²】一定为负值，即(a²+b²-c²)²-4a²b²一定为负值

Answer 2

欲证(a²+b²-c²)²-4a²b²一定为负值
即证明(a²+b²-c²)²<4a²b²
即证(a²+b²-c²)²/4a²b² <1
余弦定理 有cosC=(a²+b²-c²)/2ab <1 C∈（0，π）
所以
cos^C=(a²+b²-c²)²/4a²b² <1