Question

已知动圆M与直线l:x-2=0相切,且与定圆(x+3)^2+y^2=1相外切，求动圆圆心M的轨迹方程

求详解

Answer 1

解答：
定圆C：(x+3)²+y²=1，半径为1，圆心C(-3,0)
由题意，动圆M与直线x=2相切，且与定圆C:(x+3)²+y²=1外切
∴ 动点M到C(-3,0)的距离 减1等于动点M到直线x=2的距离
方法一：
∴动点M到C(-3，0)的距离与到直线x=3的距离相等
由抛物线的定义知，
点M的轨迹是以C(-3，0)为焦点，直线x=3为准线的抛物线
∴ 动点M的轨迹方程为y²=-12x
方法二：（如果还没有学抛物线）
设M(x,y)
则画个图，容易知道x<2
∴ √[(x+3)²+y²]-1=2-x
∴ √[(x+3)²+y²]=3-x
两边平方
(x+3)²+y²=(3-x)²
x²+6x+9+y²=9-6x+x²
即 y²=-12x
∴ 动点M的轨迹方程为y²=-12x

Answer 2

依据动圆与定直线、定圆的位置关系有：M到定直线的距离即动圆的半径，M到定圆圆心的距离即动圆半径与定圆半径之和
易知定圆圆心为(-3,0)，半径为1
令动圆圆心M为(x,y)（显然x≤0）
则M到定直线的距离即动圆的半径为Rm=|x-2|=2-x
令定圆圆心为N
由两点间的距离公式有MN=√[(x+3)^2+y^2]
所以√[(x+3)^2+y^2]=(2-x)+1
整理得y^2=-12x
即动圆圆心的轨迹为抛物线y^2=-12x

Answer 3

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