Question

如图在平行四边形ABCD中,AE垂直BD,CF垂直BD,垂足分别为点E,F.点G,H分别为AD,BC的中点试证明EF和GH互相平分

Answer 1

• 证明：在平行四边形ABCD中，

  AD∥BC

  ∠ADB=∠CBD

  AD=BC

  ∵G、H分别是AD、BC的中点，

  ∴DG=1/2AD

  BH=1/2BC

  ∴DG=BH

  ∵AE垂直于BD,CF垂直于BD

  ∴∠AED=∠CFB=90

  在△AED和△CFB中，

  ∠AED=∠CFB

  ∠ADB=∠CBD

  AD=BC

  ∴△AED≌△CFB

  ∴BF=DE

  ∴BE=DF

  在△GFD和△HEB中，

  DG=BH

  ∠ADB=∠CBD

  BE=DF

  ∴△GFD≌△HEB

  HE=GF

  ∠GFD=∠HEB

  ∴HE∥GF

  ∴四边形EHFG是平行四边形

   

Answer 2

证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴∠ABD=∠BDC, ∠BAD=∠BCD
∵AE⊥BD,CF⊥BD
∴∠BAE=∠DCF
∴∠EAD=∠BCF
在△AEG和△CFH中，
∵∠EAD=∠BCF, AE=CF, AG=HC
∴△AEG和△CFH
∴EG=HF,∠AGE=∠FHC,
∵AD∥BC
∴∠AGH=∠GHC
∴∠EGH=∠GHF
∴GE∥FH
∴四边形EGFH是平行四边形
∴EF和GH互相平分