Question

已知双曲线的中心在原点，左右焦点F1，F2在x轴上，以A(0,√2)为圆心,1为半径的与双曲线的渐近线相切

点F2与点A关于直线y=x对称
（1）求双曲线的方程
（2）若P为双曲线上的一个动点，PQ平分∠F1PF2，过F1作PQ的垂线，垂足为Q，求Q点的轨迹方程

Answer 1

(1)
依题意设双曲线标准方程为
x²/a²-y²/b²=1
∵A(0,√2)，F2关于直线y=x对称
∴F2（2，0），c=2
其中一条渐近线为 y=b/ax
,即bx-ay=0
∵以A(0,√2)为圆心,1为半径的与双曲线的渐近线相切
∴|-a×√2|/√(a²+b²)=1
∴√2a=c=2 ∴a=√2,b=√(c²-a²)=√2
∴双曲线的方程为x²/2-y²/2=1

(2)
延长F1Q，交直线PF2于T
∵ PQ平分∠F1PF2
∴PF1=PT
又 PT=PF2+TF2 ，或PT=PF2-TF2
∴TF2=PF1-PF2或TF2=PF2-PF1
即TF2=|PF2-PF1|=2a=2√2
连接OQ,则OQ是三角形F1F2T的中位线
∴OQ=1/2TF2=a
∴Q点的轨迹为以O为圆心a=√2为半径的圆
方程为x²+y²=2

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