Question

直角梯形ABCD中，角ABC=角BCD=90度，AC垂直BD于F，FE平行AB交AD于E,AB=3EF.求证四边形ABFE为等腰梯形

直角梯形ABCD中，角ABC=角BCD=90度，AC垂直BD于F，FE平行AB交AD于E,AB=3EF.求证四边形ABFE为等腰梯形

Answer 1

分析：腰相等的梯形是等腰梯形，作出辅助线，根据三角形全等的判定定理和性质，求出两腰相等．
解答：解：过D作DM垂直于AB，垂足为M，
∵AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，
∴BM=MA，
∵AM=BM，∠BMD=∠AMD，DM=DM，
∴△AMD≌△BMD，
∴BD=AD，三角形ABD为等腰三角形，
∴∠DAB=∠DBA，
∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是等腰梯形．

Answer 2

过D作DG⊥AB，交AB于G．
∵EF∥AB
∴三角形DEF相似于三角形DAB
∴DF:DB=EF:AB=1：3
∴DF:FB=1：2
∵DC∥AB
∴三角形DCF相似于三角形BAF
∴DC:AB=DF:FB=1：2
即AB=2DC
∵AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，
∴BG=GA，
∵AG=BG，∠BGD=∠AGD，DG=DG，
∴△AGD≌△BGD，
∴BD=AD，三角形ABD为等腰三角形，
∴∠DAB=∠DBA，
∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是等腰梯形．