Question

已知函数f(x)=ax^2-(a+1)x+1,当x属于(-1/2,1)时,不等式f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围

Answer 1

）①当a=0时f（x）=-x+1，在(−

12，1)上f（x）＞0一定成立
②当a≠0时，f(x)＝a(x−1a)(x−1)当a＞0时，二次函数y=f（x）的图象开口向上，且与x轴有两个交点（1，0）和(1a，0)要使f（x）＞0在(−12，1)上恒成立，当且仅当1a≥1，即0＜a≤1；
当a＜0时，二次函数y=f（x）的图象开口向下，且与x轴有两个交点（1，0）和(1a，0)要使f（x）＞0在(−12，1)上恒成立，当且仅当1a≤−12，即-2≤a≤0
综合可得实数a的取值范围是：-2≤a≤1．

Answer 2

解：
令ax²-(a+1)x+1>0
(x-1)(ax-1)>0
a>1时，x>1或x<1/a，不能完全包括区间(-1/2，1)，舍去
a=1时，(x-1)²>0 x≠1，在区间(-1/2，1)上f(x)恒>0，a=1满足题意
0<a<1时，x>1/a或x<1 在区间(-1/2，1)上f(x)恒>0，0<a<1满足题意。
a=0时，x-1<0 x<1 在区间(-1/2，1)上f(x)恒>0，0<a<1满足题意。
a<0时，x>1或x<1/a，不包含区间(-1/2，1)，不满足题意，舍去。

综上，得0≤a≤1