Question

已知a，b为正实数，2b+ab+a=30，求函数y=1/ab的最小值

Answer 1

设在（a0,b0) 处达到最小值m。 则必有： 双曲线 2b+ab+a=30 与 双曲线 ab=1/m 在(a0,b0)处相切。
双曲线 2b+ab+a=30 在(a0,b0)处有： （b0+1) da + (a0+2)db =0

双曲线 ab=1/m 在(a0,b0)处有： （b0) da + (a0)db =0

相切 ==》 (b0+1)/b0=(a0+2)/a0 ==> a0 =2b0
带入 2b+ab+a=30， 解得： b0=3, a0=6.
===> 1/ab的最小值 m=1/（a0b0)=1/18.

Answer 2

2b+a≥2√(2ab)=2√2*√(ab)
因为2b+a=30-ab
所以30-ab≥2√2*√(ab)
ab+2√2*√(ab)-30≤0
则(-2√2-8√2)/2≤√(ab)≤(-2√2+8√2)/2
-5√2≤√(ab)≤3√2
即0≤√(ab)≤3√2
0≤ab≤18
1/ab≥1/18
所以最小值=1/18

Answer 3

1/14