Question

使不等式∫(sint/t)dt>lnx成立的x的取值范围是？

积分下限1 上限是x 答案是（0,1）
这题的解题思路应该是怎样的？

Answer 1

设F(x)=∫(sint/t)dt-lnx
F'(x)=sinx/x-1/x=(sinx-1)/x<=0 (x=π/2+2π时等号成立）
当x>1时，F(x)<=F(1)=0
当x<1时，F'(x)<0,F(x)>F(1)=0
即：0<x<1时，∫(sint/t)dt>lnx

Answer 2

令F(x)=∫[1,x](sint/t)dt-lnx
求导F'(x)=[sinx-1]/x≤0
所以F(x)单调减
而F(1)=∫[1,1](sint/t)dt-ln1=0
所以当x属于(0,1) F(x)>0
即∫(sint/t)dt>lnx