Question

求f(x)=lnsinx的不定积分

Answer 1

具体回答如下：

2*i{x²+Li_2 [e^(2ix)]}

原式=xlnsinx+1/2*i{x²，可利用复数形式解

但∫xcotx dx=xln[1-e^(2ix)]-1/sinx*cosx dx

=xlnsinx-∫xcotx dx

基本上∫xcotx dx是无法用初等函数解决的∫lnsinx dx

=xlnsinx-∫x d(lnsinx)

=xlnsinx-∫x*1/

分部积分法的实质：

将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。

有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和，可见问题转化为计算真分式的积分。

Answer 2

只能计算出广义积分，不定积分是不能用初等函数表示的设M=∫【0，л/2】lnsinxdx（注：【0，л/2】表示积分区间是从0到л/2，以下类同。）

解：令x=2t.

则M=2∫【0，л/4】lnsin2tdt=2∫【0，л/4】ln(2sintcost)dt

=2∫【0，л/4】ln2dt+2∫【0，л/4】lnsintdt+2∫【0，л/4】lncostdt

而对于N=∫【0，л/4】lncostdt,令t=л/2-u.

则有N=∫【л/2，л/4】lnsin(л/2-u)(-du)=∫【л/4，л/2】lncosudu

=∫【л/4，л/2】lncostdt

∴M=2∫【0，л/4】ln2dt+2∫【0，л/4】lncostdt+2∫【л/4，л/2】lncostdt

=(лln2)/2+2∫【0，л/2】lncostdt=(лln2)/2+2∫【0，л/2】lnsintdt=(лln2)/2+2M

∴M=(-лln2)/2.

扩展资料：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。

Answer 3

这是一个超越积分，原函数无法用初等函数表示，一般情况下都是计算它[0到π/2]的定积分，称为欧拉积分。欧拉积分的计算如下：

追问

有没有什么方法能证明原函数无法用初等函数表示
好像要用到刘维尔定理

追答

如何证明我不知道。这个不定积分可以用2重对数函数Li2(z)（dilogarithm，一个无穷级数）表示，这是我在wolframalpha网站上找到的它的表达式：

参考资料： http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+ln%28sin+x%29

Answer 4

只能计算出广义积分，不定积分是不能用初等函数表示的设M=∫【0，л/2】lnsinxdx（注：【0，л/2】表示积分区间是从0到л/2，以下类同。）
解：令x=2t.
则M=2∫【0，л/4】lnsin2tdt=2∫【0，л/4】ln(2sintcost)dt
=2∫【0，л/4】ln2dt+2∫【0，л/4】lnsintdt+2∫【0，л/4】lncostdt
而对于N=∫【0，л/4】lncostdt,令t=л/2-u.
则有N=∫【л/2，л/4】lnsin(л/2-u)(-du)=∫【л/4，л/2】lncosudu
=∫【л/4，л/2】lncostdt
∴M=2∫【0，л/4】ln2dt+2∫【0，л/4】lncostdt+2∫【л/4，л/2】lncostdt
=(лln2)/2+2∫【0，л/2】lncostdt=(лln2)/2+2∫【0，л/2】lnsintdt=(лln2)/2+2M
∴M=(-лln2)/2.

Answer 5

直接用分部积分