Question

a1=2,an+1=an+2当n为奇数时

数列{an}按以下列条件给出:a1=2,
当n为奇数时,an+1=an+2,
当n为偶数时,an+1=2an，
求a2010？

Answer 1

∵n为奇数时,a(n+1)=an+2,an=a(n+1)-2

n为偶数时,a(n+1)=2an,an=a(n+1)/2

∴a(2k-1)+a(2k)=a(2k)-2+1/2a(2k+1)=1/2a(2k+1)-2+1/2[a(2k+2)-2]=1/2[a(2k+1)+a(2k+2)]-3

令b(k)=a(2k-1)+a(2k)=1/2[a(2k+1)+a(2k+2)]-3=1/2b(k+1)-3=1/2b[(k+1)+6]-6
∴b(k+1)+6=2[b(k)+6]
{b(k)+6}成为公比为2，首项为 (b1+6)=a1+a2+6=2+2+2+6=12 的等比数列,所以
b(k)+6=12*2^(k-1)
b(k)=12*2^(k-1)-6=6*(2^k-1)

当k=1005时
a(2009)+a(2010)=b(1005)=6*(2^1005-1)
a(2009)=a20010-2
a(2009)+a(2010)=2a(2010)-2=6*(2^1005-1)
a(2010)-1=3*2^1005-3
a(2010)=3*2^1005-2