Question

一个线性代数的题，求解答

设A是四阶非零矩阵，α1，α2，α3，α4是方程组Ax=b的四个不同的解，若α1，α2，α3，α4线性无关，证明：α1 一 α2，α1 一α3，α1 一α4是Ax=0的基础解系。

这题我不会做啊，马上要期末考试了，请各位大神们帮我解答，要有详细过程...

Answer 1

令t1=a1-a2; t2=a1-a3; t3=a1-a4;
证明分两步走：
1. 先证明t1 t2 t3是满足Ax=0, 只需要带入原式：At1=Aa1-Aa2=b-b=0，另两个类似。
2. 再证明t1 t2 t3是线性无关的，不妨假设那三个是线性相关的t3=k1*t1+k2*t2;
即a1-a4=k1*t1+k2*t2;=k1*(a1-a2)+k2*(a1-a3);,
化简：a4=(1-k1-k2)*a1+k1*a2+k2*a3; 这与a1, a2, a3, a4线性无关矛盾，所以t1, t2 t3线性无关
证毕~

Answer 2

证明: 由线性方程组解的性质知 α1-α2,α1-α3,α1-α4 是 Ax=0 的解.
设 k1(α1-α2)+k2(α1-α3)+k3(α1-α4) = 0
则 (k1+k2+k3)α1-k1α2-k2α3-k3α4=0
因为 α1,α2,α3,α4线性无关
所以 k1+k2+k3=k1=k2=k3=0
所以 α1-α2,α1-α3,α1-α4 线性无关
所以 α1-α2,α1-α3,α1-α4是齐次方程组Ax=0的三个线性无关的解
所以 n-r(A) = 4-r(A) >=3
所以 r(A)<=1.
又因为 A 是非零矩阵,
所以 r(A)>=1
所以 r(A)=1
所以 Ax=0 的基础解系含 4-r(A)=3个解向量
所以 α1-α2,α1-α3,α1-α4是齐次方程组Ax=0的基础解系.

Answer 3

• 证明：α1 一 α2，α1 一α3，α1 一α4是Ax=0的基础解系。
  

• 没错吧

• 基础解系不是要四组吗

•