Question

求解数学题,要有过程哦

f(x)=4lnx-(x-1)(x-1)+x的平方(不会打平方啊)-4x-a=0在区间[1,e]内恰好有2个相异的实根,求实数a的取值范围.

Answer 1

f(x)=4lnx-(x-1)²+x²-4x-a=4lnx-x²+2x-1+x²-4x-a=4lnx-2x-1-a
f(1)=0-2-1-a=-3-a
f(e)=4-2e-1-a=3-2e-a
f'(x)=4/x-2
令f'（x）=0得x=2
当1<=x<2时，f'(x)>0，f(x)递增

当2<x<e时，f'(x)<0,f(x)递减
所以f(x)在x=2时取最大值，最大值为f(2)=4ln2-4-1-a=4ln2-5-a
因为f(x)=4lnx-(x-1)²+x²-4x-a=0在区间[1,e]内恰好有2个相异的实根，
即 4lnx-(x²-2x+1)+x²-4x-a=0在区间[1,e]内恰好有2个相异的实根

所以f(1),f(e)同号，且与f(2)异号
当
-3-a>0；a<-3
3-2e-a>0;a<3-2e
4ln2-5-a<0;a>4ln2-5
a无解
当
-3-a<0；a>-3
3-2e-a<0;a>=3-2e
4ln2-5-a>0;a<4ln2-5
3-2e<=a<4ln2-5
请采纳

Answer 2

解答：
f(x)=4lnx-(x-1)²+x²-4x-a=0在区间[1,e]内恰好有2个相异的实根
即 4lnx-(x²-2x+1)+x²-4x-a=0在区间[1,e]内恰好有2个相异的实根
即 4lnx-2x-1=a在区间[1,e]内恰好有2个相异的实根
设F(x)=4lnx-2x-1
∴ F'(x)=4/x-2=2(2-x)/x
∴ 1<x<2, F'(x)>0,F(x)递增
2<x<e, F'(x)<0, F(x)递减
∴ F(x)的最大值时F(2)=4ln2-5
F(1)=4ln1-2-1=-3
F(e)=4lne-2e-1=3-2e>-3
∴ 4lnx-2x-1=a在区间[1,e]内恰好有2个相异的实根
则 F(e)≤a<F(2)
即 3-2e≤a<4ln2-5
即a的取值范围是[3-2e,4ln2-5)

Answer 3

可以化为a=4lnx-2x-1,求导得a‘=(4-2x)/x,可以知道a在[1，2]上递增，在[2,e]上递减,所以大致图像可以通过算x=1,2,e时的a值画出来再树形结合做，图不好发我就不发了，答案是[3-2e,4ln2-5]，希望对你有帮助

Answer 4

化简f(x)=4lnx-2x-a-1...(x≠0)。导数f'(x)=4/x-2。令f'(x)=0.得x=2.。∴在区间[1，2]上f'(x)≥0，f(x)为增函数。在区间[2，e]上f'(x)≤0，f(x)为减函数。∴f(1)≤0.f(2)≥0.f(e)≤0.得a∈[3-2e,4ln2-5]