Question

设椭圆C=x^2/a^2 y^2/2=1(a>0)的左右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点

向量AF2·向量F1F2=0.坐标原点O到直线AF1的距离为1/3|OF1|.(1)求椭圆C方程。（2）设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于点F(-1,0)，交y轴与点M，若|向量MQ|=2|向量QF|，求直线l的斜率
设椭圆C=x^2/a^2 y^2/2=1(a>0)的左右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点，向量AF2·向量F1F2=0.坐标原点O到直线AF1的距离为1/3|OF1|.(1)求椭圆C方程。（2）设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于点F(-1,0)，交y轴与点M，若|向量MQ|=2|向量QF|，求直线l的斜率

Answer 1

c=√(a^-2),F1(-c，0），F2(c,0),
向量AF2·向量F1F2=0,
不妨取A(c,2/a),
AF1的斜率=（2/a)/(2c)=1/(ac),
AF1:x=acy-c,即x-acy+c=0,
由O到直线AF1的距离为1/3|OF1|得
c/√（1+a^c^)=c/3,
∴1+a^c^=9,
∴a^(a^-2)=4,
解得a^=4,
(1)椭圆方程是x^/4+y^/2=1.
(2)设Q(2cost,√2sint),F(-1,0)，
则QF的斜率k=√2sint/(2cost+1),
QF:y=(x+1)√2sint/(2cost+1),交y轴于M(0,√2sint/(2cost+1)),
由|向量MQ|=2|向量QF|，得
MQ^=4QF^,
(2cost)^+8cos^tsin^t/(2cost+1)^=4[(2cost+1)^+2sin^t],
cos^t(2cos^t+4cost+3)=(2cos^t+4cost+3)(4cos^t+4cost+1),
2cos^t+4cost+3>0,
∴3cos^t+4cost+1=0,
∴cost=-1或-1/3，
相应的sint=0或土2√2/3，
∴k=0,或土4，为所求。

Answer 2

(1)
由题意 c^2=a^2-2
a^2=c^2+2
因为 向量AF2·向量F1F2=0
所以 AF2垂直F1F2，设 A(c,d)
则 AF2/AF1=1/3
因为 AF2=d, AF1=√[(2c)^2+d^2]
所以 d^2/(4c^2+d^2)=1/9
8d^2=4c^2 ==> d=c/√2
即 A(c, c/√2) 是椭圆上的点，代入椭圆方程得
c^2/(c^2+2)+c^2/4=1
c^4+2c^2-8=0
解得 c^2=2
故 a^=c^2+2=4
椭圆C方程：x^2/4+y^2/2=1
(2)
设 M(0, m), 则 直线l的斜率k=m
因为 M,Q,F 共线，|向量MQ|=2|向量QF|，
所以 M不可能在 Q,F之间。
若 F 在 Q, M 之间，则有|MF|=|QF|，即 F是MQ的中点，
故 Q(-2, -m)
因为 C 的长半轴 a=2，故 (-2,m) 在x轴上，即m=0，与题意不合。
故 Q 在 F, M 之间
因此 |FM|=3|QF|
于是 Q(-2/3, m/3) 代入C得
(2/3)^2/4+(m/3)^2/2=1
1/9+m^2/18=1 ==> m^2=16
故 直线l的斜率=±4 （有2条直线满足题意）