Question

已知直线y=-1/2x+2和椭圆x2/a2+y2/b2=1{a>b>0}相交于A,B两点,M为线段AB的中点,

已知直线y=-1/2x+2和椭圆x2/a2+y2/b2=1{a＞b＞0}相交于A、B两点，M为线段AB的中点，若AB的绝对值为2√5，直线OM的斜率为1/2，求椭圆的方程

Answer 1

将直线方程y=-x/2+2代入椭圆方程得：
x^2/a^2+(-x/2+2)/b^2=1
b^2x^2+a^2(x^2/4-2x+4)=a^2b^2
(b^2+a^2/4)x^2-2a^2x+4a^2-a^2b^2=0
x1+x2=2a^2/(b^2+a^2/4) x1x2=(4a^2-a^2b^2)/(b^2+a^2/4)
设A(x1,y1) ,B (x2,y2)则有：
y1=-x1/2+2
y2=-x2/2+2
y1+y2=-(x1+x2)/2+4 (1)
y1-y2=(x2-x1)/2
中点M的坐标为（(x1+x2)/2，(y1+y2)/2）直线OM的斜率为：
k=[(y1+y2)/2-0]/[(x1+x2)/2-0]=1/2 y1+y2=(x1+x2)/2 (2)
(2)-(1)则有：x1+x2-4=0 x1+x2=4 即2a^2/(b^2+a^2/4)=4 2a^2=4b^2+a^2 a^2=4b^2
直线AB的距离为：
|AB|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2] （将y1-y2=(x2-x1)/2代入）
=√[(x1-x2)^2+(x1-x2)^2/4]
=√(x1-x2)^2*(√5/2)
=√[(x1+x2)^2-4x1x2]*(√5/2)=2√5 （将x1+x2=4代入）
16-4x1x2=16 x1x2=0 x1x2=(4a^2-a^2b^2)/(b^2+a^2/4)=0
4a^2-a^2b^2=0 a^2(4-b^2)=0 b^2=4
a^2=4b^2 a^2=4*4=16
所以椭圆的方程为：
x^2/16+y^2/4=1