Question

A=0 -1 1 -1 0 1 1 1 0（一个三阶矩阵），求一个正交矩阵P使P^-1AP=B为对角阵。特征值为2时基础解系求不对

Answer 1

2不是A的特征值
-2 是A的特征值

当齐次线性方程组只有零解时
一定某个地方计算有误
需检查特征值, 系数矩阵, 初等变换的过程

追问

-x -1 1
-1 -x 1= -x^3+3x-2= -(x-1)^2(x+2) - -!哦我检查出来了。
1 1 -x
但是等于-2时，2 -1 1 2x1-x2+x3=0
-1 2 1 -x1+2x2+x3=0 解得x1=x2 x2+x3=0
1 1 2 x1+x2+2x3=0
这时候基础解系为（-1 -1 1）或者（1 1 -1）都可以吗？两种情况算出来的最后的P应该不一样了，会影响到B得结果吗？

追答

不影响
基础解系不是唯一的, 所以P不唯一
但P的列向量都是A的特征向量
所以结果不受影响

追问

老师，关于基础解系还有个问题。1 5 -1 -1 -1
0 -7 2 4 4 我列了方程后他的基础解系就不知道怎么弄了。答案
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
的结果最后得到了两个，这种高阶一点的基础解系的个数和计算是怎样的啊？

追答

要化行最简形
r(A) = 2
基础解系含 n-r(A) = 5-r(A) = 3 个向量