Question

如图一，已知O为等边三角形ABC内的点，且OA=OB=OC. (1)求证；BO平分∠ABC;

（2）过点O作MN∥BC分别交边AB,AC于点M,N.且BM=1，如图二，求MN的长；
（3）在（2）的条件下，将△BOC沿BC向右移，使点O与点N重合，得到△NB'C,如图三，求△NB'C'的面积。图等一下
这是图

Answer 1

1.OA=OB=OC, 可知点O为△ABC的外心(三角形外接圆圆心）
　由等边三角形四心合一可知，点O也为△ABC的内心（角平分线交点）
　即可证　BO平分∠ABC.
2.延长AO交BC于D点。点O亦为△ABC的重心。OD=2AD, AD=2AD/3.
AM:AB=AO:AD=2:3, BM=AB/3, BC=AB=3, AM=2.
AM:AB=MM:BC 2:3=MM:3, MM=2
3. S(NB'C')=S(BOC)=S(ABC)/3=AB*AC*SIN60/2/3=3*3*√3/2/2/3
=3√3/4

Answer 2

1）由于△ABC是等边三角形，所以AB=BC，因为OA=OB=OC 所以△AOB全等于△BOC ，所以∠ABO=∠CBO 即BO平分∠ABC
2）因为MN||BC,所以∠MOB=∠OBC,∠NOC=∠OCB,因为∠ABO=∠CBO，所以∠MOB=∠OBM
所以OM=BM=1，同理可得NO=CM=1 所以MN=OM+ON=2
3) 由前面的条件可知，∠OBC=∠OCB,即∠NB'C'=∠C'=30度，∠ACB=60度，作ND垂直于BC,垂足为D, 在△NCD中，∠CND=30度，CN=1，所以CD=1/2,ND= √3/2,在Rt△C'ND中，C'D= 3/2,那么B'C'=BC=3，△NB'C'的面积='C'B'*ND/2=(3√3)/4

Answer 3

1、“边边边”证△OBA与△OBC全等，即可得证BO平分∠ABC。
2、MN=2。
3、△NB'C'的面积
=(3根号3)/8。
△NB'C的面积
=(根号3)/4。