Question

求有理函数的不定积分：∫x/x2＋x＋1 dx

Answer 1

令分子转化为（x+1/2）的平方加3/4，在令x+1/2=二分之根号3利用tanx的平方加一等于secx的平方求解，乘以dx就会发现得到的式子很简单

Answer 2

∫x/(x^2＋x＋1) dx

= (1/2)∫ dln(x^2+x+1) -(1/2)∫1/(x^2＋x＋1) dx
= (1/2)ln(x^2+x+1) -(1/2)∫1/(x^2＋x＋1) dx

x^2＋x＋1= (x+1/2)^2+3/4

let
x+1/2 = (√3/2) tana
dx =(√3/2) (seca)^2 da
∫1/(x^2＋x＋1) dx

=∫(1/[(3/4)(seca)^2] ) (√3/2) (seca)^2 da
=(2√3/3)∫ da
=(2√3/3)a + C'
=(2√3/3) arctan[(2x+1)/√3]+ C'

∫x/(x^2＋x＋1) dx
= (1/2)ln(x^2+x+1) -(1/2)∫1/(x^2＋x＋1) dx
= (1/2)ln(x^2+x+1) -(√3/3) arctan[(2x+1)/√3]+ C

Answer 3

照书上自己慢慢做吧，都知道有理函数还问人，谁闲的给你做结果啊

追问

我不会做，我无法凑配出能运算的分子

追答

分子加一个二分之一减去一个二分之一，然后拆成两项，第一项凑微分，第二个分母配平方