Question

已知椭圆C：x²／a²+y²／b²=1﹙a＞b＞0﹚的离心率为根号3／2，

一椭圆c的左顶点T为圆心作圆T：﹙x+2﹚²+y²=r²﹙r＞0），设椭圆与圆T交于点M与点N。 求﹙1﹚向量TM×向量TN的最小值，并求此时圆T的方程。
为什么我把椭圆方程与圆T直接联立会计算出X为定值！（因为显然M N是关于X轴对称的，所以韦达定理的X1=X2）

Answer 1

由对称性设M(x1,y1) N(x1,-y1)
所以TM*TN=(x1+2,y1)*(x1+2,-y1)=(x1+2)^2-y1^2=(x1+2)^2-1+x^2/4
=5/4x1^2+4x1+3=5/4(x1^2+16/5x1)+3=5/4(x1+8/5)^2-1/5
-2<=x1<=2，所以x1=-8/5时，取得最小值
所以y1=3/5
代入圆的方程可以知道：r=√13/5

追问

谢谢！其实我主要的目的是让大家来帮我解决括号里的问题，你试试直接把圆T与椭圆方程联立会怎么？

Answer 2

解：左顶点(-2,0)得，a=2,.∵e=c/a=2/3∴c=4/3∴b²=20/9
∴椭圆x²/4+9y²/20=1
圆y²=r²-（x+2)²代入椭圆整理得
4x²+36x+(56-9r²）=0
两图像关于x轴対称∴x1=x2,y1=-y2
∴△=0得 r²=25/9

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追问

谢谢！其实我主要的目的是让大家来帮我解决括号里的问题，你试试直接把圆T与椭圆方程联立会怎么？

Answer 3

我也做到这道题，一样联立，然后两个点都在椭圆左边了。你老师讲了吗？这是为什么？