Question

求解。证明f(x)=√x在[0，+∞]上一致连续。

Answer 1

|f(x1)-f(x2)|=|√x1-√x2|≤√|x1-x2|<ε
则对任意ε>0 都存在δ=ε^2，使得对任意x1,x2满足|x1-x2|<δ
就有|f(x1)-f(x2)|<ε
因此f(x)=√x在[0，+∞]上一致连续

Answer 2

应该讨论该函数在[0,1]和[1,无穷]
在[0,1]，在零点和1点的极限存在，所以一直连续。（充要条件）
在[1,无穷]上有，|√x1-√x2|<|(√x1-√x2)(√x1+√x2)|=|x1-x2|<ε，√x1+√x2>1（利普西斯条件）

Answer 3

则对任意ε>0 都存在δ=ε^2，使得对任意x1,x2满足|x1-x2|<δ
就有|f(x1)-f(x2)|<ε
因此f(x)=√x在[0，+∞]上

追问

提问的时候在书本找到了一个解答，书本说要分别讨论[0,2]和[1,+∞]一致连续，这是为什么啊？