Question

已知函数f(x)=x/(1+|x|),求证函数f(x)为R上的增函数

Answer 1

1. f(-x)=-x/(1+|x|)=-f(x)
所以
函数是奇函数
x＞0
f(x)=x/(1+x)=1-1/(1+x)

1/(1+x)是奇函数，所以-1/(1+x)是增函数

从而f(x)=x/(1+x)是增函数
因为函数f(0)=0
函数又是奇函数，所以
当x≤0时，同样是增函数
所以
函数f(x)为R上的增函数

Answer 2

方法1
x>=0时，
f(x)=x/(1+x)=(1+x-1)/(1+x)=1-1/(1+x) 此时1/(1+x)是减的，1-1/(1+x)是增的。
即：f(x)在x>=0时是增的。
x<=0时，
f(x)=x(1-x)=-(-x+1-1)/(1-x)=(1-(1-x))/(1-x)=1/(1-x) -1
由于y=1-x是减的，又-x>=0 1-x>1>0 则1/(1-x)是增的，1/（1-x)-1是增的。
由于f(x)在x=0时连续，因此
f(x)在xER时是增的。

方法2
x>=0时，
f'(x)=(x/(1+x))'=(1+x-x)/(1+x)^2>0
所以，x>=0时，是增的。
x<=0时
f'(x)=(x/(1-x))'=(1-x-x)/(1-x)^2=(1-2x)/(1-x)^2 x<0 2x<0 -2x>0 1-2x>0
所以f'(x)>0
所以x<=0时，也是增的。
由于x=0时，f(x)是连续续的，又x>=0 x<=0时，都是增的，因此，f(x) 在xER上是增的。