Question

已知数列{An}首项A1=2/3,An+1=2An/An+1,求数列{n/An}的前n项和Sn

求详细过程

Answer 1

是a(n+1)=2an/(an +1)吧

a(n+1)=2an/(an +1)
1/a(n+1)=(an +1)/(2an)=(1/2)(1/an) +(1/2)
1/a(n+1) -1=(1/2)(1/an) -(1/2)=(1/2)(1/an -1)
[1/a(n+1) -1]/(1/an -1)=1/2，为定值。
1/a1 -1=1/(2/3) -1=3/2-1=1/2
数列{1/an -1}是以1/2为首项，1/2为公比的等比数列。
1/an -1=1/2ⁿ
1/an =1 +1/2ⁿ
n/an=n +n/2ⁿ
Sn=a1+a2+...+an=(1+2+...+n)+(1/2+2/2²+...+n/2ⁿ)=n(n+1)/2 +(1/2+2/2²+...+n/2ⁿ)
令Cn=1/2+2/2²+...+n/2ⁿ
则Cn2/=1/2²+2/2³+...+(n-1)/2ⁿ+n/2^(n+1)
Cn-Cn/2=Cn/2=1/2+1/2²+...+1/2ⁿ -n/2^(n+1)
=(1/2)(1-1/2ⁿ)/(1-1/2) -n/2^(n+1)
=1- 1/2ⁿ -n/2^(n+1)
Cn=2 -(n+2)/2ⁿ
Sn=Cn+n(n+1)/2=n(n+1)/2 +2 -(n+2)/2ⁿ。

Answer 2

同求

Answer 3

An+1=2An/An+1-> n+1哪个是下标

追问

n＋1是下标

追答

......
A(n+1)=2An/1+An?

追问

A(n+1)=2An/A(n+1)