Question

已知函数f(x)=e^x+a/e^x(a为实数) 问:(1)若函数y=|f(x)|在[0,1]上单调递增,求实数a的取值范围

(2)设函数h(x)=(1/2)*(x^2-3x+3)[f(x)+f '(x)]，求证：对于任意的t>-2，总存在x1属于(-2,t),满足h '(x1)/e^x1 =(2/3)*(t-1)^2,并确定这样的x1的个数

Answer 1

（1）f(x)=e^x+a/e^x，f'(x)=e^x-a/e^x

f(x)>0时，y=|f(x)|=f(x)单调递增，则有

y'=f'(x)=e^x-a/e^x>0，解得a<e^2x

∵x∈[0,1]，∴e^2x∈[1,e^2]，∴a<1

f(x)<0时，y=|f(x)|=-f(x)单调递增，则有

y'=-f'(x)=-e^x+a/e^x>0，解得a>e^2x

∵x∈[0,1]，∴e^2x∈[1,e^2]，∴a>e^2

即a<1或a>e^2时，y=|f(x)|在[0,1]上单调递增

（2）h(x)=(1/2)*(x^2-3x+3)*[f(x)+f'(x)]

=(1/2)*(x^2-3x+3)*(2e^x)

=(x^2-3x+3)e^x

h'(x)=(2x-3)e^x+(x^2-3x+3)e^x

=(x^2-x)e^x

g(x)=h'(x)/e^x=x^2-x=x(x-1)

s(t)=(2/3)*(t-1)^2

由曲线位置可知，当x1,t∈(-2,+∞)时，有

抛物线g(x)的位置总在抛物线s(t)的左边

即当x1,t∈(-2,+∞)时，过抛物线s(t)上任意点的水平线都与抛物线g(x)至少有一个交点

对于任意的t>-2，总存在x1属于(-2,t),满足等式(x-1)=(2/3)*(t-1)^2

抛物线g(x)与s(t)有两个交点，分别为(-2,6), (1,0)

当-2<t<1时，在(-2,t)上水平线与g(x)有一个交点

即满足等式的x1的解的个数为1个

当t≥1时，在(-2,t)上水平线与g(x)有两个交点

即满足等式的x1的解的个数为2个