Question

双曲线x2/4-y2/b2=1,的两个焦点是F1F2,P为双曲线上一点,OP<5,PF1,F1F2,PF2成等比数列，求双曲线方程

双曲线x2/4-y2/b2=1,的两个焦点是F1F2,P为双曲线上一点,OP<5,PF1,F1F2,PF2成等比数列，求曲线线方程~！

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Answer 1

设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则
|PF1|^2+|PF2|^2=2(|PO|^2+|F1O|^2)＜2(52+c2),
即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2,
又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|•|PF2|,
依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4,
依已知条件有|PF1|•|PF2|=|F1F2|2=4c2
∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜ ,
又∵c2=4+b2＜ ,∴b2＜ ,∴b2=1

Answer 2

解：由题意，|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比数列可知，|F1F2|2=|PF1||PF2|，
即4c2=|PF1||PF2|，
由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=4，即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16，
可得|PF1|2+|PF2|2-8c2=16…①
设∠POF1=θ，则∠POF2=π-θ，
由余弦定理可得：|PF2|2=c2+|OP|2-2|OF2||OP|cos（π-θ），|PF1|2=c2+|OP|2-2|OF1||OP|cosθ，
|PF2|2+PF1|2=2c2+2|OP|2，…②，
由①②化简得：|OP|2=8+3c2=20+3b2．
因为|OP|＜5，b∈N，所以20+3b2＜25．
所以b=1．

Answer 3

1. x^2/4-y^2/(5/3)=1