Question

高中数学问题 证明函数f(x)=x分之一在区间（0，正无穷大）上是减函数

Answer 1

方法1（求导）：f'(x)=-1/（x平方）<0，
所以f（x）在（0，正无穷大）上是减函数。
方法2（定义）：设x1<x2属于（0，正无穷大），（设值）
所以f(x1)-f(x2)=1/x1-1/x2=(x2-x1)/x1*x2<0 （作差，通分，判断符号）
所所以f（x）在（0，正无穷大）上是减函数
说明：利用定义判断单调性的步骤：
1、设值；2、作差；3、判号；4、定论
导数判断单调性的步骤：
1、求导；2、导函数大于等于0，对应的区间单调递增，反之单调递减！
希望我的回答能对您有帮助！

Answer 2

设：x1>x2>0，则：
f(x1)－f(x2)
=(1/x1)－(1/x2)
=(x2－x1)/(x1x2)
因为：x1>x2>0，则：x1x2>0、x2－x1<0
则：
f(x1)－f(x2)<0
即：
f(x1)<f(x2)
所以函数f(x)=1/x在(0，＋∞)上递减。

Answer 3

设x1>x2,x1∈（0，+∞）、x2∈（0，+∞）。f（x1）-f（x2）=1/x1-1/x2=(x2-x1)/(x1*x2)<0,
f（x1）<f（x2）,所以函数f(x)=x分之一在区间（0，正无穷大）上是减函数

Answer 4

令x1>x2>0
则f(x1)-f(x2)
=1/x1-1/x2
=(x2-x1)/x1x2
x1>x2>0
所以x2-x1<0
x1x2>0
所以
f(x1)-f(x2)<0

即x1>x2>0时f(x1)<f(x2)
所以是减函数

Answer 5

利用定义：
设x1，x2，都大于0，x1< x2
所以 f(x1)-f(x2)=1/x1-1/x2=(x2-x1) / x1*x2
分子x2-x1为正数，分母 x1*x2 为正数，所以f(x1)-f(x2)>0
所以f(x)在0到正无穷大的区间上递减。