Question

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆与直线x+y=1相交于A,B两点，且AB=2√2，连结AB的中点与原点的直线斜

已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆C与直线l：x+y=1相交于A,B两点，D是AB的中点，若AB的绝对值=2√2，OD的斜率k=√2/2，求椭圆方程。

Answer 1

设椭圆方程为：x^2/a^2+y^/b^2=1 设A点坐标为（x1,y1）,B点坐标为（x2,y2）
将直线方程y=1-x 代入到椭圆方程得：
b^2x^2+a^2(1-x)^2=a^2b^2
(a^2+b^2)x^2-2a^2x+a^2-a^2b^2=0 (1)
则有：
x1+x2=2a^2/(a^2+b^2)
x1x2=(a^2-a^2b^2)/(a^2+b^2)
又因为：
y1=1-x1
y2=1-x2
则有：
y1+y2=2-(x1+x2)
y1-y2=x2-x1
AB的中点的坐标为（(x1+x2)/2，(y1+y2)/2），O为原点，直线OD的斜率为：
k=[(y1+y2)/2-0]/[(x1+x2)/2-0]=(y1+y2)/(x1+x2)=√2/2
y1+y2=√2/2*(x1+x2)=2-(x1+x2) （将y1+y2=2-(x1+x2)代入）
(x1+x2)(1+√2/2)=2 x1+x2=4-2√2
|AB|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2] （将y1-y2=x2-x1代入）
=√2*√(x1-x2)^2=2√2
x1-x2=2或者x1-x2=-2
当x1-x2=2时，x1=3-√2 x2=1-√2
当x1-x2=-2时，x1=1-√2 x2=3-√2
所以方程（1）的两根为1-√2和3-√2，代入即可求出a，b，原理就是这样，具体结果你自己算，若又不懂，可以追问。

Answer 2

设椭圆方程为：x^2/a^2+y^/b^2=1 设A点坐标为（x1,y1）,B点坐标为（x2,y2）
将直线方程y=1-x 代入到椭圆方程得：
b^2x^2+a^2(1-x)^2=a^2b^2
(a^2+b^2)x^2-2a^2x+a^2-a^2b^2=0 (1)
则有：
x1+x2=2a^2/(a^2+b^2)
x1x2=(a^2-a^2b^2)/(a^2+b^2)
又因为：
y1=1-x1
y2=1-x2
则有：
y1+y2=2-(x1+x2)
y1-y2=x2-x1
AB的中点的坐标为（(x1+x2)/2，(y1+y2)/2），O为原点，直线OD的斜率为：
k=[(y1+y2)/2-0]/[(x1+x2)/2-0]=(y1+y2)/(x1+x2)=√2/2
y1+y2=√2/2*(x1+x2)=2-(x1+x2) （将y1+y2=2-(x1+x2)代入）
(x1+x2)(1+√2/2)=2 x1+x2=4-2√2
|AB|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2] （将y1-y2=x2-x1代入）
=√2*√(x1-x2)^2=2√2
x1-x2=2或者x1-x2=-2
当x1-x2=2时，x1=3-√2 x2=1-√2
当x1-x2=-2时，x1=1-√2 x2=3-√2