Question

含参数导数的单调性问题~~求数学高手解惑~~求调教啊^_^~~如果听懂了会追加50或100分以表感激的

老师说，其实求含参导数的单调性，其实就是求含参二次不等式，并且给出了以下解题步骤：分类讨论 ① a=0；
② a≠0，1、△≤0；2、△＞0；或者 1、a＞0； 2、a ＜0.

老师说按这样算，就没问题了……
然后……我 很迷茫啊！！！

首先，我不清楚什么时候要考虑△，什么时候直接讨论a就可以了。
另外，老师说的很简单，可我去看其他题的时候，明明就不像老师说的那样简单啊~~

好吧，我看了很多题，它们基本有三种情况：

①直接考虑a的值即可，大概就是a=o;a≠0,a＞0，a＜0……类似这样
②不仅考虑a的值，还要考虑△, △≤0，△＞0……
③求两根，比较两根大小即可……

大概是这样？我也不确定……

所以，我想知道，到底什么情况下，需要用哪种？
而这是否又跟参数的位置有关系？？？

如果觉得我上面说错了或说漏了，请一定要指出来！！
当然，如果你觉得我上面纯粹是一派胡言，不能这样歪曲地“总结”，那你就推翻我的瞎想吧~~然后能不能跟我说说你的想法呢？做这种题时，你是怎么想的呢？？你的方法是什么？？

我很笨的，嗯，我相信你们也看出来了……
所以，大神们在讲的时候，能不能结合具体的题目来跟我详细说道说道呢？

我下面就有四道题，都是我做过的，但做得很懵懂啊……所以大神们要讲的话就用这四道？

1、f(x）=（X^2）/2 - aInx
2、f(x)=lnx+x^2-ax
3、f(x)=(-a/3)x^3+（1/2）X^2+（a-1)x
4、f(x)=ax-2lnx-1/x

我知道我的要求很多，而大神们肯定也很忙的……但可怜可怜高二的孩纸吧~~数学不好真的伤不起啊……如果我真的懂了，我会加分的~~把分数全都加给你也行~~

当然，就算最后我没懂，但如果你也确实说了很多，我也会适当加分的~~

帮帮忙？？谢谢~~感激不尽~~~

Answer 1

讨论3问原则：
1º问次 2º问口 3º根（有无；根的大小；根与定义域）
注意数形结合
1、f(x）=（X^2）/2 - aInx （x>0)
f'(x)=x-a/x=(x²-a)/x
（前两个环节跳过，进入第三个环节）
a≤0时，x²-a≥0恒成立，f'(x)≥0
f(x)在(0,+∞)内递增
a>0时，f'(x)=(x+√a)(x-√a)/x
( 0,√a),递减，（√a,+∞)递增

3、f(x)=(-a/3)x^3+（1/2）X^2+（a-1)x
f'(x)=-ax²+x+(a-1)
当a=0时，f'(x)=x-1 【问次，将一次和二次分开考虑】
递增区间(1,+∞),递减区间（-∞，1）

当a≠0时， f'(x)=-a[ x²-1/ax+(1/a-1)]
=-a(x-1)[x-(1/a-1)]
a<0时，f'(x)开口朝上， 1/a-1<1 【问口，此时根的大小已定】
增区间(-∞,1/a-1),(1,+∞)
减区间 （1/a-1,1)
a>0时，f'(x)开口朝下， 【问口，此时根的大小不定，需问两根大小】
【1/a-1=1 ==> a=1/2，草稿纸上分析的】
当0<a<1/2时，1/a-1>1
当a=1/2时， 1/a-1=1
当a>1/2时， 1/a-1<1

有问题，可以追问我，

追问

最后当a>1/2时， 1/a-1<1，就可以了吗？这时1/a大于0还是小于0不用讨论么？这个讨论三问原则适用于所有题目么？什么时候需要用到△？……第四题好像就需要讨论△,你给我讲讲？拜托拜托~~

追答

●a>1/2时, 1/a-10的分之下的，f'(x)开口朝下
1/a-1和1是，f'(x)图像与x轴的交点
x1时，f'(x)0

●讨论三问原则适用于所有题目，有时按需要可再加一问，问轴

●4、
f(x)=ax-2lnx-1/x （x>0)
f'(x)=a-2/x-1/x² =(ax²-2x-1)/x²
关键是分子函数：g(x)=ax²-2x-1

a=0时，f'(x)=-(2x+1)/x² 0时，【分析：g(x)=ax²-2x-1中Δ=4+4a>0，有2根】
f'(x）=0得，x1=[1-√(1+a)]/a,x2=[1+√(1+a)]a
【分析：要看根与定义域的关系 ，肯定x2>0,
∵√(1+a)>1 ∴1-√(1+a)0 解得x>[1+√(1+a)]/a 增区间 （ [1+√(1+a)]/a，+∞）
f'(x)0时，g(x)0时， f'(x)=g(x)/x<0恒成立
f(x)在(0,+∞)上为减函数

追问

哦，基本上懂了。那……我还想问个问题……其实无论在什么情况下，△都是需要做考虑的对么？只是有时△很明显就大于0，比如第3题，和第4题a＞0时，所以这时候△就不用写出来了对么？但如果不知道△的大小，就需要讨论是不是？就像第4题a＜0时，这时我们不能判断△，所以我试着讨论分类讨论了下△≤0和△＞0的情况，貌似答案和您是一样的？？

追答

关于Δ的问题，
一定是在二次的（a≠0) 前提下的
还是在需要的时候，尽量画图，
很多的时候是不需要讨论 Δ的，
因为1）可能肯定有解，比如第3题
2）不管Δ>0,还是Δ<0，f'(x)=0在定义域总无解，如第4题a＜0时

第4题a＜0时,讨论Δ没用的，即便有根，根也不在定义域内
即f'(x)=0在(0,+∞)肯定是无解的,因此f'(x)<0恒成立

Answer 2

　　这个从头说起吧,首先函数的单调性可以简单地理解为由其导数的零点构成的性质.(因为有一些间断的比如x+a/x这样的函数还要根据定义域来考虑)
　　所以研究其单调性可以转化为求根.
　　比如第一道题,
　　1.f(x)的单调性:先求导f'(x)=x-a/x,然后求它的根.也就是x=a/x. 注意一下定义域是x>0(通常这个是要一开始就要写上去的),所以就是求x=a/x在x>0时的根,化简得到x^2=a.
　　那么根就是x=+-根号a,所以单调性....,这样显然是错的,为什么?--x=+-根号a这个式子有意义吗?如果a<0那不是米有意义了吗?..这就是a的分类标准...这样就可以分为a<0,a>=0云云.

Answer 3

童鞋，在回答的你的问题前，我可以先问下高二年学过导数了吗（就是函数方程求导）？

追问

……人教版选修1-1，我是文科生……这样…算学过么……你还继续回答我问题不？

追答

我高中时是理科生，我跟你讲我的解题方法行么？O(∩_∩)O~

Answer 4

其实我不是很清晰的理解你的题目类型,我猜想,你指的是不是一类给出具体函数讨论函数单调性的问题? 比如说求ax^3+x^2 - x = 0的单调区间?

追问

呃……对啊对啊…就是求单调区间。

追答

那就按正常求二次函数的方式就行了.先讨论a,确定是否二次函数,开口方向,然后计算delta判断根,然后套用求根公式.

Answer 5

我想说高中时我数学对付这种题还是可以的，上了大学，两年没学，什么都忘了。。。希望别人可以帮到你