Question

求曲线所围平面图形绕指定轴旋转的旋转体的体积：X^2+(y-5)^2=16,绕X轴。

Answer 1

求曲线X²+(y-5)²=16所围图形绕X轴旋转所得旋转体的体积。

解：X²+(y-5)²=16是一个园心在(0，5)，半径为4的园；绕x轴旋转一周即得一园环(手躅).
y=5±√(16-x²)，取旋转体的外径R=5+√(16-x²)，内径r=5-√(16-x²)；于是得园环的体积：
V=【-4，4】π∫(R²-r²)dx=【-4，4】π∫{[5+√(16-x²)]²-[5-√(16-x²)]²}=【-4，4】20π∫√(16-x²)dx
=[(x/2)√(4²-x²)+(16/2)arcsin(x/4)]【-4，4】=20π[8arcsin1-8arcsin(-1)]=20π[4π+4π]=160π²

Answer 2

x² + (y - 5)² = 16是以(0, 5)为圆心, 半径为4的圆.
y = 5 ±√(16 - x²) (-4 ≤ x ≤ 4)
绕x轴旋转, 在x处的截面为圆环，其外径R =y = 5 +√(16 - x²), 内径r = 5 -√(16 - x²)
截面积 s = π(R² - r²) = 20π√(16 - x²)
V = ∫⁴₋₄20π√(16 - x²)dx
= 20π*[(x/2)√(16 - x²) + 8arcsin(x/4)]|⁴₋₄
= 160π[arcsin1 - arcsin(-1)]
= 160π(π/2 + π/2)
= 160π²