求曲线所围平面图形绕指定轴旋转的旋转体的体积:X^2+(y-5)^2=16,绕X轴。 10

wjl371116
2012-12-23 · 知道合伙人教育行家
wjl371116
知道合伙人教育行家
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求曲线X²+(y-5)²=16所围图形绕X轴旋转所得旋转体的体积。

解:X²+(y-5)²=16是一个园心在(0,5),半径为4的园;绕x轴旋转一周即得一园环(手躅).
y=5±√(16-x²),取旋转体的外径R=5+√(16-x²),内径r=5-√(16-x²);于是得园环的体积:
V=【-4,4】π∫(R²-r²)dx=【-4,4】π∫{[5+√(16-x²)]²-[5-√(16-x²)]²}=【-4,4】20π∫√(16-x²)dx
=[(x/2)√(4²-x²)+(16/2)arcsin(x/4)]【-4,4】=20π[8arcsin1-8arcsin(-1)]=20π[4π+4π]=160π²
唐卫公
2012-12-23 · TA获得超过3.7万个赞
知道大有可为答主
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x² + (y - 5)² = 16是以(0, 5)为圆心, 半径为4的圆.
y = 5 ±√(16 - x²) (-4 ≤ x ≤ 4)
绕x轴旋转, 在x处的截面为圆环,其外径R =y = 5 +√(16 - x²), 内径r = 5 -√(16 - x²)
截面积 s = π(R² - r²) = 20π√(16 - x²)
V = ∫⁴₋₄20π√(16 - x²)dx
= 20π*[(x/2)√(16 - x²) + 8arcsin(x/4)]|⁴₋₄
= 160π[arcsin1 - arcsin(-1)]
= 160π(π/2 + π/2)
= 160π²
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