Question

线代题：A的伴随矩阵等于A的转置矩阵，如何证明A是可逆矩阵？

Answer 1

解：本题利用了可逆矩阵的性质求解。

本题进行证明应当具有一个前置条件A ≠ 0。

故假设n = 2时,设矩阵A =

a b

c d

则伴随矩阵A* =

d -b

-c a

由转置A‘ = A*得a = d,b = -c.

当讨论限制为实矩阵,行列式|A| = a²+b² > 0,A可逆.

复矩阵时有反例:

1 i

-i 1

n > 2时,无论在哪个域上,命题总是成立的,证明如下.

若A的秩r(A) < n-1,伴随矩阵A*是由A的n-1阶子式构造,有A* = 0,与A ≠ 0从而转置矩阵A' ≠ 0矛盾。

若r(A) = n-1,由AA* = |A|·E = 0,及不等式r(A)+r(A*)-n ≤ r(AA*),有r(A*) ≤ 1 < r(A) = r(A')。

于是r(A) < n时总有A* ≠ A'.即由A* = A'可推出A可逆。

扩展资料：

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

参考资料来源：百度百科- 可逆矩阵

Answer 2

条件应该有A ≠ 0吧.
n = 2时, 设A =
a b
c d
则伴随矩阵A* =
d -b
-c a
由转置A‘ = A*得a = d, b = -c.
当讨论限制为实矩阵, 行列式|A| = a²+b² > 0, A可逆.
复矩阵时有反例:
1 i
-i 1
n > 2时, 无论在哪个域上, 命题总是成立的, 证明如下.
若A的秩r(A) < n-1, 伴随矩阵A*是由A的n-1阶子式构造, 有A* = 0, 与A ≠ 0从而转置矩阵A' ≠ 0矛盾.
若r(A) = n-1, 由AA* = |A|·E = 0, 及不等式r(A)+r(A*)-n ≤ r(AA*), 有r(A*) ≤ 1 < r(A) = r(A').
于是r(A) < n时总有A* ≠ A'. 即由A* = A'可推出A可逆.